具體介紹
德國數學家維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815－1897）於1872年(可能在1861年已經構造，但1872年才正式發表）利用函式項級數構造出了人們認識到的第一個處處連續而處處不可導的函式，為上述猜測做了一個否定的終結。在維爾斯特拉斯的原始論文中，這個函式被定義為：
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這裡0 < a < 1, b是奇整數，且
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這個構造過程，連同處處不可導的證明，發表在維爾斯特拉斯的論文（“Königliche Akademie der Wissenschaften” on July 18, 1872.）中。
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上圖是一個維爾斯特拉斯函式圖，其區間在[-2,2]之間。這個函式具有分形性質：任何局部的放大（紅點）都與整體相似。
維爾斯特拉斯函式可能被描述為最早的分形，儘管這個數學名詞直到很晚之後才被使用。這個函式在每一個級別上，都具有細節。因此放大每一個彎曲，都不能顯示出圖象越來越趨近於直線。不管多么接近的兩點，函式都不是單調的。在肯尼斯.法爾科內的《分形集合的幾何學》一書中，評說經典的維爾斯特拉斯函式的毫斯道夫維數被限定在screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>之內，（這裡的a和b是在前面構造過程中定義的常數），這一限定一般認為是正確的、有價值的，但它並沒有被嚴格證明。
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