黎曼流體

黎曼流形（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點 p 的切空間都定義了點積，而且其數值隨 p 平滑地改變。它容許我們定義弧線長度，角度，面積，體積，曲率，函式梯度及向量域的散度。
每個R的平滑子流形可以導出黎曼度量: 把R的點積都限制於切空間內。實際上，根據納什嵌入定理, 所有黎曼流形都可以這樣產生。
我們可以定義黎曼流形為和R的平滑子流形是等距同構的度量空間,等距是指其內蘊度量(intrinsic metric)和上述從R導出的度量是相同的。 這對建立黎曼幾何是很有用的。
黎曼流形可以定義為平滑流形，其中給出了一個切叢的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間：
如果 γ : [a, b] → M 是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線，我們可以定義它的長度L(γ) 為
（注意：γ'(t) 是切空間M在γ(t)點的元素; ||·||是切空間的內積所得出的範數。)
使用這個長度的定義,每個連通的黎曼流形M很自然的成為一個度量空間（甚至是長度度量空間）：在x與y兩點之間的距離 d(x, y) 定義為：
d(x,y) = inf{ L(γ) : γ 是連線x和y的一條光滑曲線}。 雖然黎曼流形通常是彎曲的，“直線”的概念依然存在:那就是測地線.
在黎曼流形中,測地線完備的概念，和拓撲完備及度量完備是等價的：每個完備性都可以推出其他的完備性，這就是Hopf-Rinow定理的內容.。