簡述
黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。
歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。
在我們這個不大不小、不遠不近的空間裡，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。
創立
人們終於認識到存在一種不同於歐氏幾何的新幾何，稱其為非歐幾何。不久之後，德國的黎曼採用另一條新公理取代第五公設，創建了另一種非歐幾何。黎曼的新公理認為，“過直線外的一點，一條平行線也得不出來”。數學界很快認識到這三種幾何都是正確的，它們反映不同曲率空間的性質。人們把羅巴切夫斯基和鮑耶創建的幾何稱為羅氏幾何，把黎曼創建的幾何稱為黎氏幾何。歐氏幾何是平直空間中的幾何，黎氏幾何是正曲率空間中的幾何，羅氏幾何則是負曲率空間中的幾何。1845年，黎曼在哥廷根大學發表了題為《論作為幾何基礎的假設》的就職演講，標誌著黎曼幾何的誕生。黎曼把這三種幾何統一起來，統稱為黎曼幾何，並用這一工作，在哥廷根大學的數學系作報告，謀求一個講師的位置。
後經E．B．Christoffel，L．Bianohi及C．G．Ricci等人進一步完善和拓廣，成為A．Einstein創立廣義相對論(1915年)的有力數學工具。此後黎曼幾何得到了蓬勃發展，特別是E．Cartan，他建立的外微分形式和活動標架法，溝通了Lie群與黎曼幾何的聯繫，為黎曼幾何的深入發展開闢了廣闊的前景，影響極為深遠。近半個世紀來，黎曼幾何的研究從局部發展到整體，產生了許多深刻的並在其他數學分支(如代數拓撲學，偏微分方程，多復交函式論等)及現代物理學中有重要作用的結果。
內容
黎曼的研究是以高斯關於曲面的內蘊微分幾何為基礎的，在黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對於三維空間，有以下三種情形：◆曲率恆等於零；
◆曲率為負常數；
◆曲率為正常數．
黎曼指出：前兩種情形分別對應於歐幾里得幾何學和羅巴切夫斯基幾何學，而第三種情形則是黎曼本人的創造，它對應於另一種非歐幾何學。黎曼的這第三種幾何就是用命題“過直線外一點所作任何直線都與該直線相交”代替第五公設作為前提，保留歐氏幾何學的其他公理與公設，經過嚴密邏輯推理而建立起來的幾何體系。這種幾何否認“平行線”的存在，是另一種全新的非歐幾何，這就是如今狹義意義下的黎曼幾何，它是曲率為正常數的幾何，也就是普通球面上的幾何，又叫球面幾何。該文於黎曼去世兩年後的1868年發表 。
套用
近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的套用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎。也套用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。
