基本介紹
超限基數
超限基數
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超限基數
超限基數超限基數(transfinite cardinal number)亦稱 無限基數，是一類常見的基數，指與有限基數相對的一類基數，可數基數、不可數基數統稱 超限基數，超限基數又稱為阿列夫()。將所有超限基數從小到大排列出來 ，得到 正則超限基數序列：，是一個無限上升的良序鏈，這裡是可數基數，也是最小的超限基數。當時，都是不可數基數 。
超限基數的性質
有下列性質：
超限基數
超限基數1. 對任何基數，都存在比它更大的基數，即
超限基數
超限基數
超限基數2. 若，則是一個基數。
超限基數3. 超限基數等冪定理：對任何序數，
超限基數 超限基數
超限基數4.對任何序數與，
超限基數 超限基數 超限基數
超限基數
超限基數5.對任何序數與， 當時，。
超限基數
超限基數6.對任何序數，。
基數
超限基數
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超限基數 超限基數 超限基數基數(cardinal numbers)是集合論基本概念之一。是通常個數概念的推廣。按康托爾原意，集合a的基數是一切與a一一對應的集合的共同特徵，它既捨棄了a中元素的具體屬性，也不考慮a的元素間的次序關係，所以集a的基數是抽象的結果，用a上加兩劃(或)來表示。弗雷格把a的基數定義為所有與a一一對應的集所成之集，即。在ZFC系統中能證明當時，並不構成一個集，而是一個真類。1928年數學家馮·諾伊曼建議選取一個特殊的與a一一對應的集作為a的基數，即把定義為所有與a一一對應的序數中最小的一個。根據集合的良序化定理，與a一一對應的序數是一定存在的，由於序數類的良序性，所有與a一一對應的序數中必有最小的一個，因此任何集合均有基數，並且兩個集合具有相同基數的充要條件就是它們能夠一一對應，這符合康托爾的原意。因為集合有有限、無限之分，相應地，基數亦有有限、超限之分， 有限基數就是自然數；超限基數記作，表示第個超限基數，其中讀作阿列夫，是一個序數。按照的隸屬情況，超限基數亦可分為三類：第一類只含一個基數，它是可數集的基數；當為後繼序數或極限序數時，分別稱為後繼基數與極限基數，它們分別構成第二類與第三類超限基數 。
