介紹
超限歸納法又稱超窮歸納法、超限歸納證法，數學中用來證明某種類型命題的重要方法。
定理
設(Χ,≤)是一個良序集，對任意α∈Χ，Χα={b∈Χ│b<α}稱為在Χ中由α所確定的截段。Χ的子集E稱為歸納子集，如果對於任何α∈Χ，只要截段Χα為E的子集，就有α∈E。
超限歸納定理斷言：設E為良序集(Χ,≤)的歸納子集，則E=Χ。因為若α為Χ的最小元素，則可得α∈E；如果α'為Bα={b∈Χ│b>α}的最小元素，那么Χα'={x∈Χ│x<α'}={α}是E的子集，遂有α'∈E；同理可得α″=(α')'∈E等等。容易看出，Χ的良序性是定理成立的重要依據，倘若把它改為Χ是全序集，則Χ的非空子集可以沒有最小元素，命題就不成立了。
推論和推廣
當Χ為自然數集N時，就得到上述定理的一個常用的特殊情況，稱為數學歸納法，表述為：若N的子集E，滿足①0∈E；②對於任何n∈N，如果由一切小於n的自然數k∈E，可以推出n∈E，則E=N。其中一切小於n的自然數k∈E相當於Nn為E的子集，而0∈E則可以由空集必然為E的子集推出。
在引進“類”概念的前提下，超限歸納定理可以敘述為：設C是一個序數類,如果①0∈C；②若α∈C，可得α'=α+1∈C；③若α為極限序數，並且對一切β<α，β∈C，就必然有α∈C，則C是所有序數的類。
超限歸納法
超限歸納法套用
超限歸納法是數學歸納法的形式之一，可以套用於（大的）良序集，比如說套用到序數或基數，甚至於所有有序的集。
超限歸納法可用於證明一個命題P在所有序數中成立：
基礎：證明P(0)成立；
歸納：證明對於任何一個序數b，如果P(a)在所有序數a<b中成立，那么P(b)也將成立。
後面一步常常分解為兩種情況：
能套用和一般的歸納法相似的方法的後繼序數（有直接前驅的序數），（P(a)蘊涵P(a+1)），
沒有前驅的極限序數，因此不能用這種方法。
顯然，極限序數可以通過將極限序數b看成所有小於b的序數的極限來處理：假定在所有的a<b中P(a)成立，取所有這些情況的極限（通常通過並集公理實現），則證明了P(b)。
