基本介紹
豪斯多夫測度
豪斯多夫測度設在n維歐氏空間中對子集定義其直徑為
豪斯多夫測度
豪斯多夫測度
豪斯多夫測度如果子集族為可數個直徑不超過的集構成的覆蓋F的集類，即
豪斯多夫測度
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豪斯多夫測度且對每一個都有，則稱是F的一個覆蓋。設F是中的任一子集，S為一非負數，對任意，定義
豪斯多夫測度
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豪斯多夫測度 豪斯多夫測度{為的覆蓋} (1)
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豪斯多夫測度
豪斯多夫測度考察所有直徑不超過的的覆蓋，並讓這些直徑的S次冪的和達到最小。當時，趨於一極限值，可寫為
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豪斯多夫測度
豪斯多夫測度稱為的維豪斯多夫測度。通常測度只是賦予集以數值“大小”的一種方式，如果集是以合理的方式分解為有限或可數個部分，則整體的數值應該是所有部分數值之和。可以證明，對於空集∅，有。如果包含於內，則。豪斯多夫測度具有平移不變性與旋轉不變性。長度、面積和體積具有眾所周知的比例性質，即當比例放大λ倍時，曲線的長度放大λ倍，平面區域的面積則放大倍，而三維物體的體積則放大倍。由此可預料，S維豪斯多夫測度的放大倍數為。其數學表達式為：若，則
豪斯多夫測度其他介紹
豪斯多夫測度
豪斯多夫測度豪斯多夫測度(Hausdorff measure)是幾何測度論中一類有重要意義的測度。在歐氏空間情形，對任意和給定的，令
豪斯多夫測度
豪斯多夫測度這裡使得
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豪斯多夫測度 豪斯多夫測度且每個的直徑(ε是任意給定正數)，下確界對所有這樣的而取。定義
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豪斯多夫測度
豪斯多夫測度(是隨ε減小而增大的，故此定義有意義)，則是度量外測度，稱為 豪斯多夫外測度。由這個外測度所確定的(惟一的)測度即為豪斯多夫測度，仍用表示。豪斯多夫測度是正則波萊爾測度，當時，就是直線上的勒貝格測度；時，與上的勒貝格測度等價，但不完全相同。豪斯多夫測度的意義在於，對的任一子集A，存在數，使時時，因而刻畫了中集合的“維數”(參見“豪斯多夫維數”)。但一般不是整數，例如對於直線上的康托爾集，。這個測度由豪斯多夫(F.Hausdorff)於1918年引進，在調和分析、位勢論等學科中有套用。豪斯多夫測度還可在一般的度量空間上和更廣的意義(將上述定義中的()換成某個集函式之值)下定義 。
