調和分析

調和分析起源於Euler,Fourier等著名科學家的研究，主要涉及運算元插值方法、極大函式方法、球調和函式理論、位勢理論、奇異積分以及一般可微函式空間等。經過近200年的發展，已經成為數學中的核心學科之一，在偏微分方程、代數數論中有廣泛的套用。

含義

調和分析是研究作為基本波形的疊加的函式或者信號的表示的數學分支。它研究並推廣傅立葉級數和傅立葉變換的概念。基本波形稱為調和函式，調和分析因此得名。在過去兩個世紀中，它成了一個廣泛的主題，內容包括從信號處理、量子力學到神經科學這樣的寬廣領域。

定義於Rn上的經典傅立葉變換仍然是一個處於研究狀態的領域，特別是在關於更一般的對象（例如緩增廣義函式）的傅立葉變換的方向。 例如，若我們加上在一個分布f的要求，我們可以試圖用f的傅立葉變換來表達這些要求。Paley-Wiener定理是這樣的一個例子。Paley-Wiener定理直接蘊涵如果f是非0分布，有緊支撐 (這包含緊支撐函式)，則其傅立葉變換從不擁有緊支撐。這是在調和分析下的測不準原理的一個非常初等的形式。參看經典調和分析。
傅立葉級數可以在希爾伯特空間的意義下方便的研究，該空間提供了調和分析和泛函分析的一個聯繫。