複合函式的導數

複合函式的概念：一般地，對於兩個函式y=f(u)和u=g(x)，如果通過變數u,y可以表示成x的函式，那么稱這個函式為函式y=f(u)和u=g(x)的複合函式，記做y=f(g(x)).
複合函式的導數：複合函式y=f(g(x))的導數和函式y=f(u)，u=g(x)的導數間的關係為
y'=u'*x'
即y對x的導數等於y對u的導數與u對x的導數的乘積.
例題：y=(2x^3-x+1/x)^4
設u=2x^3-x+1/x,y=u^4,
則y'=u'*x'=4u^3*(6x^2-1-1/x^2)
=4(2x^3-x+1/x)^3*(6x^2-1/x^2-1)

求導法則與公式

1.y=c(c為常數) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等於1,x>0)
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/(cosx)^2
8.y=cotx y'=-1/(sinx)^2
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/(1+x^2)
12.y=arccotx y'=-1/(1+x^2)
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)], y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整個變數，而g'(x)中把x看作變數』
2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2
3.y=f(x)的反函式是x=g(y），則有y'=1/x'

與導數的關係

複合函式對自變數的導數，等於已知函式
對中間變數的導數，乘以中間變數對自變數的導數--稱為鏈式法則。
導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊不苨茨對次做出了卓越的貢獻！

複合函式的奇偶性

複合函式的性質與構成它的函式的性質密切相關,其規律可列表如下:
若函式f(x), g(x), f[g(x)] 的定義域都是關於原點對稱的，那么由u=g(x), y=f(u) 的奇偶性得到y=f[g(x)]的奇偶性的規律是:
u=g(x) 奇函式 奇函式 偶函式 偶函式
y=f(u) 奇函式 偶函式 奇函式 偶函式
y=f[g(x)] 奇函式 偶函式 偶函式 偶函式
即若且唯若u=g(x)和y=f(x) 都是奇函式時,複合函式y=f[g(x)]是奇函式.

複合函式的單調性

若函式u=g(x)，在區間[a,b]上是單調函數, 函式y=f(u)在[g(a),g(b)]或[g(b),g(a)]上也是單調函式,那么複合函式y=f[g(x)]在區間[a,b]上是單調函式,其單調性規律是:
u=g(x) 增函式 增函式 減函式 減函式
y=f(u) 增函式 減函式 增函式 減函式
y=f[g(x)] 增函式 減函式 減函式 增函式
即u=g(x),y=f(u)增減性相同時,y=f[g(x)]為增函式,u=g(x),y=f(u)增減性相反時,y=f[g(x)]為減函式.