關於函式的複合運算

關於函式的複合運算複合函式，是按一定次序把有限個函式合成得到的函式，對兩個函式f：A關於函式的複合運算→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)確定的函式h稱為f與g的複合函式，記為g°f，這樣，g°f是A到C的函式，(g°f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，記號“°”表示兩個函式的複合，它是二元運算.這個運算不滿足交換律，即一般來說g°f≠f°g，但它滿足結合律：對f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h°(g°f)=(h°g)°f，於是可以定義h°g°f=h°(g°f)=(h°g)°f，一般地，對n+1個滿足Bi⊆Ai+1(i=1，2，…，n)的函式fi：Ai→Bi(i=1，2，…，n+1)可以定義n重複合函式fn+1°fn°…°f1，任給兩個函式f：A→B，g：C→D，若且唯若f(A)⊆C時可以得到複合函式g°f：A→D；若且唯若g(C)⊆A時可以得到f°g：C→B，當函式用變數表示為t=f(x)，y=g(t)，且f的值域含於g的定義域時，稱t為複合函式y=g(f(x))的中間變數，函式的複合是研究函式的一種工具，一方面它提供了構造各式各樣的新函式的方法；另一方面，為研究複雜的函式，常將它們看成一些簡單函式的複合(求函式的導數時常這樣做) 。

定義

關於函式的複合運算

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設有定義在由集合A到集合B的函式 和定義在集合B到集合C上的函式 ，則 和 的複合函式是一個由集合A到集合C的函式，記為 (或記為 )。

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對於任意一個元素 ，有 ，也就是說，如果 是 在函式 作用下的像，並且 是元素b在函式 作用下的像，那么集合C中的元素c就是 在複合函式 作用下的像 。

複合函式的定義域與值域

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在上述複合函式的定義中，要求函式 的值域包與函式g的定義域相等。實際上，對該條件可以適當放寬，即只要求函式 的值域 是函式g的定義域的子集就可以了。也就是說．若有函式 和函式 ，並且有f(A)是集合C的子集，則同樣可以定義一個由集合A到集合D的複合函式g·f。但是，如果 不是集合C的子集，那么，複合函式 就沒有意義了。因此，在上述定義的條件下，儘管複合函式 有意義，但是 不一定有意義，即使 與 都有意義，二者也不一定相等。

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例1 設集合 ，集合 ，集合 ，定義在集合A到集合B上的函式 ， ，定義在集合B到集合C上的函式 ，求複合函式 。

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根據複合函式的定義不難求出

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例2設集合 ，並且在由集合A到A自身上定義兩個函式 和函式 ：

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求複合函式 。

解：根據複合函式的定義有：

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由於函式的複合運算是關係的複合運算的一種特殊情形，因此關係的複合運算中成立的性質，對於函式的複合運算也是成立的。例如,對於任意一個函式，有。又例如，設有三個函式，根據定義不難看出，這些函式可以構成複合函式，進而可以構成複合函式，可以看出，這兩個複合函式都是由集合A到集合D的函式。又由於關係的複合運算滿足結合律，因此，函式的複合運算也滿足結合律，因此，可以得出以下定理 。

相關定理

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定理1 設對於任意給定的三個函式 ，則有 。

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定義 設有定義在集合A到A自身的函式 ，且 ，則稱函式 為 冪等函式。例如，定義在正整數集的冪集上的函式 ，將其定義為 ，則根據函式 的定義，對於任意一個 為S中所有的素數組成的集合，記為 。而又由於 ，所以 ，因此這裡定義的函式 是一個冪等函式。

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如果函式 是冪等函式，那么對於所有的正整數n≥1，都有 。

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定理 設有函式 和函式 ，那么：

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(1) 如果 和 都是單射函式，則複合函式 也是單射函式；

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(2) 如果 和 都是滿射函式，則複合函式 也是滿射函式；

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(3) 如果 和 都是雙射函式，則複合函式 也是雙射函式。

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定理 設有函式 和函式 ，那么：

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(1) 如果複合函式 是單射函式，則函式 是單射函式；

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(2) 如果複合函式 是滿射函式，則函式g是滿射函式；

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(3) 如果複合函式 是雙射函式，則函式 是雙射函式，函式g是滿射函式 。