麥比烏斯圈

麥比烏斯圈是一個單側曲面。單側性又叫不定向性，對不定向性的一種解釋是“以曲面上除邊緣外的每一點為圓心各畫一個小圓，對每個小圓周指定一個方向，稱為相伴麥比烏斯圈單側曲面圓心點的指向，若能使相鄰兩點相伴的指向相同，則稱曲面可定向，否則稱為不可定向。”

簡介

麥比烏斯圈(Möbius strip, Möbius band)是一種單側、不可定向的曲面。因A.F.麥比烏斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)發現而得名。將一個長方形紙條ABCD的一端AB固定，另一端DC扭轉半周后，把AB和CD粘合在一起 ，得到的曲面就是麥比烏斯圈。

發現過程

莫比烏斯環

有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然後只允許用一種顏色，在紙圈上的一面塗抹，最後把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要塗完一個面再重新塗另一個面，不符合塗抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？

對於這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。後來，德國的數學家麥比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕鬆舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。一片片肥大的玉米葉子，在他眼裡變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圈圈。麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。

圓圈做成後，麥比烏斯捉了一隻小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯圈激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。” 麥比烏斯圈就這樣被發現了。

實驗

弄好一個圈，沾好，繞一圈後可以發現，另一個面的入口被堵住了，原理就是這樣。

如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開後竟是一個大圈兒。

如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開後的結果是什麼，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什麼呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙圈。

新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。

特性

麥比烏斯圈

關於麥比烏斯圈的單側性，可如下直觀地了解，如果給麥比烏斯圈著色，色筆始終沿曲面移動，且不越過它的邊界，最後可把麥比烏斯圈兩面均塗上顏色 ，即區分不出何是正面，何是反面。對圓柱面則不同，在一側著色不通過邊界不可能對另一側也著色。單側性又稱不可定向性。以曲面上除邊緣外的每一點為圓心各畫一個小圓，對每個小圓周指定一個方向，稱為相伴麥比烏斯圈單側曲面圓心點的指向，若能使相鄰兩點相伴的指向相同，則稱曲面可定向，否則稱為不可定向。麥比烏斯圈是不可定向的。

麥比烏斯圈還有著更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在麥比烏斯圈上獲得了解決。比如在普通空間無法實現的“手套易位問題”：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套。不過，倘若自你把它搬到麥比烏斯圈上來，那么解決起來就易如反掌了。

“手套易位問題”告訴我們：堵塞在一個扭曲了的面上，左、右手系的物體是可以通過扭曲時實現轉換。讓我們展開想像的翅膀，構想我們的空間在宇宙的某個邊緣，呈現出麥比烏斯圈式的彎曲。那么，有朝一日，我們的星際太空人會帶著左胸腔的心臟出發，卻帶著右胸腔的心臟返回地球呢！瞧，麥比烏斯圈是多么的神奇！但是，麥比烏斯圈具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數學家費力克斯•克萊茵（Felix Klein，1849～1925），終於找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，後來以他的名字命名為“克萊因瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由一對麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。

通常的一張紙條兩端對接得到的紙環是有兩個面的。你拿一張紙條，一端扭轉180度，對接起來。這樣你用一支鉛筆在紙帶中央點一個點，然後以這個點為起點沿著紙帶畫線，畫一圈，兩個點重合了，但是不在同個面上。要想回到遠處，必須再走一圈。麥比烏斯圈其實是一怪圈。

拓撲學結構

莫比烏斯環

數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，“麥比烏斯圈”變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地套用到了建築，藝術，工業生產中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。

x(u,v)=[1+v/2×cos（u/2）]cos(u)
y(u,v)=[1+v/2×cos（u/2）]sin(u)
z(u,v)=v/2×sin(u/2)

其中0≤u<2π且-1≤v≤1。.這個方程組可以創造一個邊長為1半徑為1的麥比烏斯帶，所處位置為x-y面，中心為（0，0，0）。參數u在v從一個邊移動到另一邊的時候環繞整個帶子。

如果用極坐標方程表示的話(r,θ,z)，一個無邊界的麥比烏斯帶可以表示為：

log(r)sin(θ/2)=zcos(θ/2)。

現實套用

莫比烏斯環建築

麥比烏斯帶為很多藝術家提供了靈感，比如美術家毛瑞特斯·柯奈利斯·艾雪就是一個利用這個結構在他木刻畫作品裡面的人，最著名的就是麥比烏斯二代，圖畫中表現一些螞蟻在麥比烏斯帶上面爬行。

它也經常出現在科幻小說裡面，比如亞瑟·克拉克的《黑暗之牆》。科幻小說常常想像我們的宇宙就是一個麥比烏斯帶。由A.J.Deutsch創作的短篇小說《一個叫麥比烏斯的捷運站》為波士頓捷運站創造了一個新的行駛線路，整個線路按照麥比烏斯方式扭曲，走入這個線路的火車都消失不見。另外一部小說《星際航行：下一代》中也用到了麥比烏斯帶空間的概念。

麥比烏斯帶也被用於工業製造。一種從麥比烏斯帶得到靈感的傳送帶能使用更長的時間，因為可以更好的利用整個帶子，或者用於製造磁帶，可以承載雙倍的信息量。

有一座鋼製的麥比烏斯帶雕塑位於美國華盛頓的史密斯森林歷史和技術博物館。

荷蘭建築師BenVanBerkel以麥比烏斯帶為創作模型設計了著名的麥比烏斯住宅。

在日本漫畫《哆啦A夢》中，哆啦A夢有個道具的外觀就是麥比烏斯帶；在故事中，只要將這個環套在門把上，則外面的人進來之後，看到的仍然是外面。

在日本的艾斯奧特曼第23話《逆轉！佐菲登場》中TAC隊利用麥比烏斯帶的原理，讓北斗和南進入異次元空間消滅了亞波人。

在電玩遊戲"音速小子-滑板流星故事"中最後一關魔王戰就是在麥比烏斯帶形狀的跑道上進行，如果你不打敗魔王就會一直在麥比烏斯帶上無限循環的滑下去.....

1988年在日本上映的動畫電影機動戰士高達逆襲的夏亞以麥比烏斯帶作為對命運的隱喻：人類就好比行走在麥比烏斯帶上的螞蟻一般，永遠逃不出這個怪圈，不斷重複著相同的錯誤，類同的悲劇也在不斷地上演。電影的主題歌BEYONDTHETIME(メビウスの宇宙を越えて)亦呼應了這個主題（日文メビウス就是Möbius的意思）。

日本的夢比優斯奧特曼名字也取於麥比烏斯帶，其變身是則為“無限”的標誌，及剪開的麥比烏斯帶。