這些都說明,基於平均場思想的朗道理論,由於忽略了Tc附近的熱漲落,對描述臨界行為來說是不夠正確的。臨界現象的研究,特別是由式(5)、(6)、(7)、(8)等描述的、體系自由能高於一次的導數在臨界點附近的奇性行為,是近年來凝聚態物理與統計物理最活躍的研究領域之一。通過一些最普遍的理論分析以及很精細的實驗檢驗,有下面幾方面的規律。 ① 標度關係。從普遍的熱力學定律,要求上述9個臨界指數應滿足一些嚴格的不等式,如:
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等。 ② 標度規律。目前的實驗數據和理論表明,臨界指數在Tc的兩旁(即T→T廯與T→T婔)是對稱的;並且在標度關係中的≥號實際是等號,即
(13)
等。 ③ 臨界指數的普適性。理論與實驗數據都指出,臨界指數所反映的臨界行為僅與系統的對稱性和空間維數有關,而與體系的具體結構、相互作用的形式和強弱都沒有關係。應該說明,這裡所指的對稱性是指體系的內在對稱性。例如,伊辛模型是二個元素的分立對稱性。各向同性的海森伯模型是O(3)連續對稱性,超流和超導是有複數的序參量的系統,相當於二維鏇量空間的連續對稱性,等等。 1971年,K.G.威耳孫對臨界現象理論作了重要的發展。他基於L.P.卡達諾夫提出的標度的概念,考慮到序參量空間變化的朗道-威耳孫等效哈密模量(即在式(1)中加上形如的項,這裡是d 維空間的體積元),發展了重正化群的理論方法。藉助於重正化群理論,可以比較好地分析臨界現象,得到了標度規律,並說明了空間維數與臨界指數的普適關係。從研究臨界現象發展起來的一系列新的概念與理論方法現在不僅對連續相變的理論,而且也對凝聚態物理與統計物理的許多分支,以及量子場論和粒子物理學,都有深刻的影響。