公理化集合論

公理化集合論是數學的一門分支。公理集合論 axiomatic set theory 用形式化公理化方法研究集合論的一個學科。數理邏輯的主要分支之一。

公理化集合論是數學的一門分支。在數學中，公理化集合理是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整，以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。
集合論中其中一套由Skolem最後整理的公理系統，稱為Zermelo-Fraenkel 集合論 (ZF)。實際上，這個名稱經常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理，當包括了選擇公理，這套系統被稱為ZFC。
外延公理: 兩個集合相同，若且唯若它們擁有相同的元素。 空集公理: 存在著一個不包含任何元素的集合，我們記這個空集合為{}。 配對公理: 假如x, y為集合，那就有另一個集合{x,y}包含x與y作為它的僅有元素。 並集公理: 每一個集合也有一個並集。也就是說，對於每一個集合x，也總存在著另一個集合y，而y的元素也就是而且只會是x的元素的元素。 無窮公理: 存在著一個集合x，空集{}為其元素之一，且對於任何x中的元素y，y U {y}也是x的元素。 分類公理（或子集公理）：給出任何集合及命題P(x)，存在著一個原來集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。 替代公理 冪集公理: 每一個集合也有其冪集。那就是，對於任何的x，存在著一個集合y，使y的元素是而且只會是x的子集。 正規公理 (or axiom of foundation): 每一個非空集合x，總包含著一元素y，使x與y為不交集。 選擇公理: (Zermelo's version) 給出一個集合x，其元素皆為互不相交的非空集，那總存在著一個集合y（x的一個選擇集合），包含x每一個元素的謹謹一個元素。