理論內容
在劍橋大學求學時的羅素20世紀初, 在邏輯和數學中發現了許多悖論, 包括羅素本人所發現的悖論(後被稱為羅素悖論) 。這些悖論動搖了數學的基礎, 史稱第三次數學危機。為了解決悖論, 並實現邏輯主義論題, 羅素提出了邏輯類型論。羅素在1903年出版的《數學的原則》( The Principles of Mathematics) 一書中最早提出類型論; 而在1908年的論文《以類型論為基礎的數理邏輯》和1910—1913年與懷特海合著的《數學原理》中, 則全面系統地論述了邏輯類型論。邏輯類型論分兩部分: 簡單類型論和分支類型論。簡單類型論同分支類型論是結合在一起的, 但又具有獨立性, 並與下面將要說到的惡性循環原則無關。
簡單類型論
簡單類型論的中心思想是, 把類或謂詞分為不同的層。
第0層謂詞: 包括一切個體(個體常項和變項) , 這些實體的類型記為0。
第1層謂詞: 這是取個體為變目的謂詞, 包括個體的屬性、個體之間的關係。前者的類型記為(0) , 後者的類型記為(0, 0) , (0, 0, 0) 等等。
第2層謂詞: 其空位被個體或第1層謂詞填補, 並且至少出現一個第1層謂詞作為變目。第2層謂詞也根據它的空位的個數及種類而分成不同的類型。個體屬性的屬性, 其類型記為( ( 0) ) , 二元謂詞(關係) 的一個屬性, 其類型記為( (0, 0) ) , 等等。
第3層謂詞、第4層謂詞等等可類推。一個謂詞如果其變目屬於≤n層並且至少有一個變目是第n層的, 那么它便屬於第n + 1層。第i層謂詞能夠有意義地述說第j層謂詞, 若且唯若i = j + 1。第j層謂詞不能有意義地述說同層的謂詞。在邏輯系統中引入簡單類型論以後, 羅素悖論等邏輯悖論就可以消除, 因為這些悖論的發生是由於混淆了不同層的謂詞所致。例如, 在羅素悖論中, 定義類的謂詞記為< ^y (這裡“^y”是一個空位記號) , 由它所定義的類記為“^y ( <y) ”。根據簡單類型論, “< { ^y( <y) } ”一定是無意義的, 因為^y( <y)是一個類, 其層數高於它的定義謂詞< ^y的變目的層數。因此,我們不能說: “一個類是或不是自身的元素”, 從而“由所有不是自身元素的類組成的類”是無意義的。
分支類型論
簡單類型論不能消除說謊者悖論等語義悖論, 於是為了處理這些悖論, 羅素引進了分支類型論。分支類型論是以惡性循環原則為基礎的。羅素說: “使我們能夠避免不合法總體的那個原則, 可以陳述如下: ‘凡牽涉到一個匯集的全體者, 它本身不能是該匯集的一分子’; 或者, 反過來說, ‘如果假定某一匯集有一個總體, 它便將含有一些只能用這個總體來定義的分子, 那么這個匯集就沒有總體’。我們把上述原則叫做‘惡性循環原則’, 因為它能使我們避免那些由假定不合法的總體而產生的惡性循環。” (Whitehead and Russell, pp. 37 - 38) 惡性循環原則強調的是, 總體不能包含只有通過這個總體來定義的分子。分支類型論就是在惡性循環原則的基礎上對命題函項(廣義的謂詞) 所作的一種分類, 其核心是在類型中再區分出階。為簡化起見, 下面我們只考察個體的謂詞這一類型。
個體是零階函項。給定一個固定的論域(由個體x, y, ⋯組成的個體域) 以及其中的一些函項(謂詞) 。<x, ψ( x, y) , χ( x, y, z⋯)這些公式稱為母式, 即不包含約束變元的公式, 除個體外沒有其它變目。由這些母式可以得到x的其它函項, 例如: ( y). ψ( x, y) , (v y). ψ( x, y)等。所有這些函項都沒有預設除個體的總體之外的總體。母式和這類函項稱為“一階函項”。
在一階函項的基礎上便可構造二階函項。把一階函項當作一個新的域，加到原有的個體域上去，得到一個擴大的論域。“<! ^y” [ “^y”是空位符號，<! ^y即<! ( ) ] 代表一個一階函項變元，“<! y”代表這樣一個函項的任一個值。“<! x”是包含兩個變元的函項，一個是<! ^y，另一個是x。“( x). <! x”是包含變元<! ^y的一個函項。由於引進一階函項變元, 因而就有在新的論域上的一組母式。如果a是個體常項，那么<! a就是變元<! ^y的一個函項。如果a和b是個體常項，那么“<! a蘊涵ψ! b”就是兩個變元<! ^y和ψ! ^y的一個函項，如此等等。因此以下公式：
f ( <! ^y)，g( <! ^y, ψ! ^y)，F ( <! ^y, x)，
就是包含個體和一階函項作為變目的母式，被稱為二階母式(其中不必含有個體作為變目)。由以上母式可得到以下函項：
( <). g( <! ^y, ψ! ^y)，它是ψ! ^y的函項；
( x). F ( <! ^y, x)，它是<! ^y的函項；
( <). F ( <! ^y, x)，它是x的函項。
二階母式以及從二階母式導出的量化公式稱為二階函項。也就是說，二階函項包含一階函項作為變元，也可包含個體變元，但不包含其它變元。
仿照以上方法可構成三階函項和更高階的函項。與命題函項類似，我們可構成各階的命題。由上可見，如果在一個命題函項中出現的變元的最高階數為n，那么當有一個屬於n階的變元的兩次出現時，該命題函項的階數為n + 1。對於命題函項的階數，還要看命題函項的變目，這時階數必須高於所有變目的階數。當確定一個命題函項的階數時，還要考慮作為縮寫用的記號的表達式中所出現的階數，例如，F ( <! ^y, x)是一個縮寫, 表明這是<! ^y和x的函項，因此該函項為二階。通過以上的分階, 我們可得到兩個結果：
第一，可以把每個命題、性質或關係作為被斷定的對象；
第二，因為只允許依次構成的各個階的命題函項，又因為對於某個階的函項，它所涉及的對象總體是明確地限定於某一論域之中的，所以就能避免“所有命題”、“所有謂詞”這種不合法的總體。
使用分支類型論，語義悖論便可消除。例如說謊者悖論可以寫成：“我斷定p，而p是假的”。如果p是n階命題，那么p在其中作為約束變元出現的命題“我斷定p，而p是假的”為n + 1階，可記為q，q比p高一個階，它不能作為p的一個值進行代入，因此不會產生悖論。換句話說，如果p具有n階的真或假，那么q就具有n + 1階的真或假。我們可以認為，“我在某一時刻所說的所有一階命題都是假的”這句話是真的，而不會引起悖論，因為這句話本身是二階命題。
分支類型論有許多弊端。按照分支類型論, 我們不能說一切個體謂詞如何，而要分成階。對於實數，不能說所有實數如何，只能涉及具有確定的階的實數。屬於一階的那些實數，在其定義中不出現“對於所有實數”這種短語；屬於二階的那些實數，在其定義中只能出現“所有一階實數”這種短語，如此等等。這樣一來，就失去了實數理論中的許多重要定義和定理。為了克服這種困難，羅素不得已增加了一條可化歸性公理。
可化歸性公理是說，每一個非直謂的函項都有一個形式上等值的直謂函項。有了這個公理，我們就可以用直謂函項替代非直謂函項。直謂函項的特點是：只要空位的階確定了，整個函項的階也就確定了，因為n + 1階直謂函項必含有n階空位。只根據空位劃分類型，這是簡單類型論的基本原則。因此可化歸性公理的作用就是把分支類型論簡化為簡單類型論。有了可化歸性公理，關於實數的階的困難可得到解決。我們可以說，關於實數的命題函項雖有不同的階，但對每一個關於實數的高階命題都有一個相應的直謂函項，這一函項為同樣的有理數所滿足而不為其它有理數所滿足。同樣，我們可以對有不同階的命題函項所表達的一類事物作出單一的斷定。可化歸性公理由於是一個人為的假定，而遭到很多數學家和邏輯學家的反對：他們不願採用分支類型論和可化歸性公理，而是採用簡單類型論。羅素在1925年的《數學原理》第二版中放棄了可化歸性公理，但仍採用分支類型論。
蘭姆賽的工作
1925年，在《數學原理》第二版出版之後不久，羅素的學生蘭姆賽(Ramsey)發表了一篇論文《數學基礎》，1926年又發表了一篇論文《數理邏輯》。他廢除了可化歸性公理，並成功地保留了《數學原理》的符號部分，幾乎沒有變動。蘭姆賽還提出，悖論分為兩組： A組(現在稱為邏輯悖論或集合論悖論) 和B組(語義悖論或認識論悖論) 。A組悖論可用簡單類型論來排除； B組悖論不能用邏輯符號表示，應歸咎於日常語言的某種缺陷，在邏輯和數學中不出現。蘭姆賽宣布，分支類型論和可化歸性公理在邏輯中是多餘的，只可用於解決B組悖論。1937年，羅素表示同意蘭姆賽的觀點。
