線性空間相關定義
簡單的說，線性空間是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構成此集合內的另一元素，任意元素與任意數（可以是實數也可以是複數，也可以是任意給定域中的元素）相乘後得到此集合內的另一元素。域的概念：
設F是一個非空集合，在F中定義加法和乘法兩種運算，且這兩種運算對F來說是封閉的，也就是說，對F中的任意兩個元素a，b，a+b和ab仍屬於F，如果加法和乘法運算滿足以下運算規則，則稱F對所規定的加法和乘法運算作成一個域：Ⅰ.1 對F中任意兩個元素a，b，有
a+b=b+a
Ⅰ.2 對F中任意三個元素a，b，c，有
(a+b)+c=a+(b+c)
Ⅰ.3 F中存在一個元素，我們把它記作0，使得對F中的任意元素a，有
a+0=a
Ⅰ.4 對F中的任意元素a，在F中存在一個元素，我們把它記作-a，有
a+(-a)=0
Ⅱ.1 對F中任意兩個元素a，b，有
ab=ba
Ⅱ.2 對F中任意三個元素a，b，c，有
(ab)c=a(bc)
Ⅱ.3 F中存在一個≠0的元素，我們把它記作e，使得對F中的任意元素a，有
ae=a
Ⅱ.4 對F中任意≠0的元素a，在F中存在一個元素，我們把它記作a‘(因為這裡顯示不了a的負一次方，所以用a’代替)，有
aa'=e
Ⅲ 對F中任意三個元素a，b，c，有
a(b+c)=ab+ac
常見的域有：複數域C、實數域R、有理數域Q，但是自然數集N和整數集Z都不是域。
線性空間定義：
設V是一個非空集合，F是一個數域，在集合V的元素之間定義一種代數運算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對於V中任意兩個元素x和y，在V中都有唯一的一個元素z與他們對應，稱為x與y的和，記為z=x+y．在數域F與集合V的元素之間還定義了一種運算，叫做數量乘法；這就是說，對於數域F中任一數k與V中任一元素x，在V中都有唯一的一個元素y與他們對應，稱為k與x的數量乘積，記為y=kx。如果加法與乘法還滿足下述規則，那么V稱為數域F上的線性空間．1. V對加法成Abel群，即滿足：
（1）（交換律）x+y=y+x；
（2）（結合律）（x+y）+z=x+（y+z）
（3）（零元素）在V中有一元素0，對於V中任一元素x都有x+0=x；
（4）（負元素）對於V中每一個元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；
2. 數量乘法滿足：
（5）1x=x；
（6）k(lx)=(kl)x；
3. 數量乘法和加法滿足：
（7）（k+l）x=kx+lx；
（8）k（x+y）=kx+ky．
其中x，y，z為V中任意元素，k，l為數域F中的任意元素，1是F的乘法單位元。
數域F稱為線性空間V的係數域或基域，F中元素稱為純量或數量（scalar），V中元素稱為向量（vector）。
當係數域F為實數域時，V稱為實線性空間。當F為複數域時，V稱為複線性空間。
簡單性質
（1）V中零元素（或稱0向量）是唯一的。（2）V中任一向量x的負元素（或稱負向量）是唯一的。
（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）若且唯若k=0或x=0。
（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。
例子
1. 域F上m×n矩陣全體，按矩陣的加法與數乘是F上線性空間。2. 複數域C是實數域R上的線性空間。
3. 域F上次數小於n的多項式形式全體是F上的線性空間。
4. 連續實變函式全體按函式的加法和數與函式的乘法是實數域R上的線性空間。
