概念
度量線性空間(metric linear space)是一類定義了距離的線性空間。設E是線性空間，又是度量空間，ρ是E上的距離，且E按ρ導出的拓撲成為拓撲線性空間，則稱E為度量線性空間、線性度量空間或線性距離空間。如果對一切x，y∈E，ρ(x-y，0)=ρ(x，y)，則稱ρ是平移不變距離。如果對一切數λ(|λ|≤1)，有ρ(λx，0)≤ρ(x，0)，就稱ρ是均衡的。設ρ是E上均衡平移不變距離，則p(x)=ρ(x，0)是E上的準範數。完備的度量線性空間必可改賦一個均衡平移不變距離，且按這個距離是完備的，從而是弗雷歇空間。
線性空間
線性空間亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：
1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件：
1) α+β=β+α，對任意α，β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.
3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.
4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.
5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).
6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當P是實數域時，V稱為實線性空間。當P是複數域時，V稱為複線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合M(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則M(P)是數域P上的線性空間。V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a，a，…，a)構成的集合P對於加法：(a，a，…，a)+(b，b，…，b)=(a+b，a+b，…，a+b)與純量乘法：λ(a，a，…，a)=(λa，λa，…，λa)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。
度量空間
度量空間亦稱距離空間。一種拓撲空間，其上的拓撲由距離決定。設R是一個非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函式，滿足如下條件：
1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y;
2.ρ(x，y)=ρ(y，x);
3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(y，z);
則稱ρ(x，y)為兩點x，y之間的距離，R按距離ρ成為度量空間或距離空間，記為(R，ρ)。設A是R的子集，則A按R中的距離ρ也成為度量空間，稱為R的(度量)子空間。如果把上述距離的條件1改為ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，則稱ρ為R上的擬距離。當ρ(x，y)=0時，記x～y.～是R上的一個等價關係，記商集(即等價類全體)為D=R/～，在D上作二元函式ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，則ρ～是D上的距離，而(D，ρ～)稱為R按擬距離ρ導出的商(度量)空間。
度量空間(R，ρ)中的子集A稱為有界的，如果對x∈R，存在常數M，使ρ(x，x)≤M對A中的一切x成立。設x∈R，r>0，則稱集合{x|x∈R，ρ(x，x)<r}為以x為中心，r為半徑的開球，或x的r鄰域，記為O(x，r)。又設A⊂R，若對任何x∈A，存在x的某個鄰域O(x，r)⊂A，則A稱為開集；而稱開集的補集為閉集。R中包含子集A的最小閉集就稱為A的閉包。
度量空間是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1906年引進的，它是現代數學中的一種基本而重要並且非常接近於歐幾里得空間的抽象空間，也是泛函分析的基礎之一。
拓撲線性空間
拓撲線性空間是泛函分析的重要分支，又稱之為拓撲向量空間，它是具有拓撲結構的線性空間，是賦范線性空間概念的推廣。
20世紀初，法國數學家弗雷歇在引入距離空間，並用距離概念來統一過去分析學中的許多重要收斂時，就知道[a，b]上一列函式的“點點收斂”概念是不能用距離收斂來描述的。20世紀30年代以來，泛函分析中大量套用弱收斂、弱拓撲，它們都不能用距離來描述。這就很自然地把賦范線性空間理論發展成更一般的拓撲線性空間理論，其中最主要的成就是局部凸拓撲線性空間理論。這一分支的發展是與一般拓撲學的發展緊密聯繫在一起的。拓撲學方法在這裡發揮了極其重要的作用，法國數學家勒雷和波蘭數學家紹德爾所推廣的不動點定理就是有力的例證之一。1935年以後，經過十多年的努力，這一分支終於形成，它的許多結果不僅在泛函分析中有著廣泛的套用，而且為其他分析學科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。
