概念
賦范線性空間(normed linear space)是線上性空間中引進一種與代數運算相聯繫的度量，即由向量範數誘導出的度量。賦范線性空間稱為Banach空間，是指由範數導出的度量是完備的。
賦范線性空間
賦范線性空間 賦范線性空間定義：設是線性空間，函式稱為上定義的一個範數，如果滿足：
賦范線性空間
賦范線性空間（1）若且唯若；
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間（2）對任何及，；
賦范線性空間
賦范線性空間（3）對任意，。
賦范線性空間稱二元體為賦范線性空間。
賦范線性空間在是賦范線性空間時，由範數導出的度量為
賦范線性空間 賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間此時在此度量意義稱為度量空間。所以，賦范線性空間是一種特殊的度量空間。點列收斂於，即，有時稱這種收斂為依範數收斂。
性質
賦范線性空間 賦范線性空間 賦范線性空間 賦范線性空間
賦范線性空間 賦范線性空間性質1：設是賦范線性空間，⊂，，若，則是有界點列。
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間證：，對，存在自然數，當時，。於是
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間 賦范線性空間令，那么對一切自然數，均有，即有界。證畢。
賦范線性空間 賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間性質2：設中點列，及數域中數列滿足，則
賦范線性空間
賦范線性空間（1）加法連續：，即；
賦范線性空間
賦范線性空間（2）數乘連續：，即。
賦范線性空間 賦范線性空間證：（1）由，得。
賦范線性空間 賦范線性空間
賦范線性空間 賦范線性空間（2）因，由性質1，有界，所以存在常數，滿足。於是
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間
賦范線性空間 賦范線性空間故。證畢。
