海倫公式
海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫（heron,也稱海龍）二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據MorrisKline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發現，以托希倫二世的名發表（未查證）。我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”，它與海倫公式基本一樣。
假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p為半周長：
p=(a+b+c)/2
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註："Metrica"(《度量論》)手抄本中用s作為半周長，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。
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由於任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。
證明（1）：
與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則餘弦定理為
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
設p=(a+b+c)/2
則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角型ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
證明（2）：
我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由於土地的面積並不是的三角形，要找出它來並非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數學家九韶提出了“三斜求積術”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減後餘數的一半，自乘而得一個數小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減後餘數被4除馮所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方後即得面積。
所謂“實”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p為“隅”，Q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]
當P＝1時，△2＝q,
S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}
因式分解得
1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
