公式導出
考慮一片耕地共有E條田埂,將此片耕地分割成F塊(含外部的一塊),二條田埂的交點為某塊田的角頂,設角頂共有V個.想像最外面一塊田充滿著水,欲灌溉全部田地,由外圍開始,每挖掉一條田埂就可灌溉一塊田,當然為灌溉全部田地及修復田埂起見,田埂能夠不挖儘量不挖,當全部灌溉完畢時,我們觀察田埂的情形:欲多灌溉一塊田地,必須多挖掉一條田埂,而原先共有F-1塊乾地,故被挖去的田埂數為F-1條.
固定任一角頂,我們必可由此角頂經由未挖去的田埂不需涉水,及可達到其他任意角頂,如果有一角頂無法經由乾路到達,則必定有一條田埂不需挖而被挖掉了.
由固定角頂到其他頂點的乾路必唯一,否則必有一塊田地仍為乾地,我們將其他頂點與到達此頂點的最後一段路一一對應,發現未被挖去的田埂數恰為V-1條.
由(1)(2)知,田埂總數為未挖去的田埂數加上已挖去的田埂數,即
E=(F-1)+(V-1)
得證尤拉公式 V-E+F=2
西瓜的切割
問題1:平面上有n條相異直線,這n 條直線可將此平面分割成多少塊區域如果這n條直線任二直線必相交,任三條直線不共點,則此n條直線必有C(n,2)個交點,外加一個無窮遠點,因此
V=C(n,2)+1
又每條直線都會與其他直線都會相交,因此這條直線上共有 n-1個交點,這條直線被分成n段,因此
E=n2
利用Euler公式可知
F=2-V+E
=
問題2:平面上有n條直線, 這n條直線將平面分割成多邊形區域, 這些區域中有多少個是有界的 有多少個是無界的
n條直線在平面最多有個交點,可找出一個很大的圓包含所有的交點, 則此圓與給定的n條直線相交於2n的點 此圓周被分割成2n段,又每一段恰在一個無界區域上, 故無界區域恰有2n個,從而有界區域共有
個
研究問題:射影平面上n條直線將此平面分割成多少個區域
Ans:條
問題3 如果限制這n條直線任二不平行任三不相交,則其中有多少個區域是三
角形區域
解:(1)三角形區域個數的上界:由於任三線不共點,三角形不會有公共邊,故總邊數為3a,另一方面由於每個邊都是基本線段,而每條直線上有n-2個基本線段,故得
,
當n=3,4,5,7,9,15時等號成立.
(2)三角形區域個數的下界:
設直線與另外n-1條直線的交點依次為A1, A2,…, An,基本線段AiAi+1, 與過Ai, Ai+1 的直線圍成三角形△BAiAi+1 (1in-2),任意直線穿過這個三角形將它分成兩塊時,仍有一塊為三角形區域,因此在整個構圖中每個 △BAiAi+1都有三角形區域,它們的頂點中必有一個離 最遠,記為Pi,由於i≠j時Δi≠Δj,就得到a≥n-2.
問題4 空間中任作n個平面,最多將空間分成多少個區域
ans:
問題5 瓜皮問題:
(a)平面上任作n個圓,最多將平面分成多少個區域
(b)空間中任作n個球,最多將空間分成多少個區域
Ans: a. b.
問題6 平面上任作n個凸m邊形,最多將平面分成多少個區域
解: 設最多個數為un ,則 u1=2,un=un-1+2m(n-1)
故
等號成立的構形:將直徑為1的圓周mn等分,交錯連成n個正m邊形,每兩個m邊形交於2m個點,每條邊上的2(n-1)個交點都不重合,因此等號成立.
問題5 平面上任作n條拋物線,最多將平面分成多少個區域
如果限制拋物線的軸互相平行,最多將平面分成多少個區域
Pick面積公式
熱流證法:設P為格子多邊形,內部共有 I 個格子點,邊上共有b個格子點,
Pick面積公式:P的面積為
(P)=
設初始時刻t=0時,每個格子點有一單位的熱源,熱量從格子點散布到整個格子板上,經過長時間後,熱量均勻分布在整個格子板上,且平均密度為1,此時格子多邊形的總熱量恰為格子多邊形的的面積 (P).
問題:格子多邊形P的總熱量來自何處
觀察下面事實:
設e為格子多邊形P的一個邊,M為e的中點,不在e上的格子點成對對稱於M點,從每組成對的格子點所散發出來且穿過邊e的熱量相等,但其方向相反,因此穿過邊e的熱流總和為0.因此我們可說格子多邊形P的總熱量來自P內部的格子點和來自P邊界P上的格子點.
(2) 計算格子多邊形的總熱量 (P),來自P內部的格子點共有i個,每個
熱量為1,共有i單位的熱量;來自邊界P但不為頂點的格子點,每個
熱量為1,有一半的熱量留在P,來自頂點的格子點,每個熱量為1,
有(內角/2),即一半再扣掉(外角/2)的熱量留在P中,來自邊界P上
的格子點共有()i單位的熱量留在P中.
綜合(1)(2)可導出 .
幾何證法:
先考慮有兩條直角邊分別平行於兩坐標軸的格點直角三角形,此三角形無論沿橫座標軸方向,縱座標方向,無論平移多少整數單位長,均不影響其邊上及其內部的格點數,故不妨設這個格點三角形的頂點是O(0,0), A(a,0), B(0,b),a,b均為正整數.
設AB內部不含端點的格子數為u,內部格子點數q,邊上的格子點數為
p=u+a+b+1.取C為點 (a,b),則矩形OACB內部格子點數為 (a-1)(b-1)=u+2q,得
p+2q=u+a+b+1+2q
=(a-1)(b-1)+a+b+1
=ab+2
=2OAB +2
從而
OAB=
進而考慮一般的格子三角形,它可視為一個含它的矩形截去若干個格點直角三角形得到的.
最後考慮一般的格子多邊形,它可分割為若干個格點三角形.
尤拉公式證法:
基本三角形是指三個頂點是格子點且內部和邊上都沒有其他的格子點的三角形.
所有的基本三角形其面積都是1/2
所有的格子多邊形都可分解成基本三角形
將給定的格子多邊形可分解成基本三角形,然後在複製此格子多邊形,將兩個格子多邊形沿著邊界黏合起來得到球面上的連通圖形,由尤拉公式知
V'-E'+F'=2
因這個連通圖形的面都是三角形區域,因此 2E'=3F';又圖形式上下對稱,得知 F'=2F, V'=2I+b
代入尤拉公式得
2I+b-3F+2F=2
解得 F=2I+b-2
因此格子多邊形的面積是
§4正三角形的相異正三角形分割
問題:是否能將一個正三角形分割成若干個大小均異的小正三角形
設一個正三角形有一個相異小正三角形分割,記此分割為T.T的頂點可分為三大類:(1)原大正三角形的頂點 (2)六個小三角形的公共頂點 (3)恰為三個小三角形的公共頂點,其他的(角在T的外部或為某個小三角形內部.
首先構造一個連通圖形:
結點:(a)在分割T的小三角形中心放置一個紅點,
(b)在恰為三個小三角形的公共頂點上均放置一個綠點,
(c)在大正三角形的外部某定點放置一個綠點,
(d)在六個小三角形的公共頂點選出一對對頂角,在此角頂附近各放置一個綠點.
弧: (a)若小三角形中心有一紅點,有一頂點為綠點,將此兩點連成一弧;
(b)連結包含原大正三角形頂點的小正三角形中心的紅點與外部的綠點;
(c)在包含六個小三角形的公共頂點的小正三角形中心的紅點,或與該三角形的綠點相連,或與緊鄰該三角形的綠點相連.
假設T共被分割成n個小三角形,則此連通圖形共有n個紅點,每條弧都是連線一個紅點與一個綠點,每個紅點恰與三個綠點相連線,故
E=3n;
又每個綠點都與三條弧相連,故知綠點共有n個,因此
V=n+n;
利用尤拉公式知 F=E-V+2=3n-2n+2=n+2.
設ci為恰由i條弧所圍成區域的個數,因為每個面都是紅綠結點交替連線射,當i為奇數時,c I=0,又每對結點最多只有一弧連線,因此 c2=0,從而
F=c4+c6+c8+…=n+2
因每條弧都是兩線的交線,故
2E=4 c4+6c6+8c8+…=2(3n)=6n
消去n可得
6= c4-c8-2c10-…
因此 c4(6,及至少有六個四邊形區域.
由連通圖形的造法我們知道至少有一對三角形具有公共邊,此時這兩個三角形全等,與假設矛盾.
問題:任給一個非正三角形,是否必有一個彼此相似且大小相異的三角分割
當x+x3≠x4時,非正三角形的相異相似分割如左上圖
當x+x3 =x4時,非正三角形的相異相似分割如右上圖.
問題:球面上是否存在一個圖形使得每個頂點至少引出六條弧
設ci為恰由i條弧所圍成區域的個數, 每對結點最多只有一弧連線,因此 c2=0,因每條弧都是兩線的交線,故
2E=3c3+4 c4+6c6+8c8+…(3F
設Vk表示恰引出k條弧的頂點個數,由假設知
V1= V2= V3= V4= V5=0, 故
2E= 6V6+7 V7+8V8+…(6V
利用尤拉公式知 6(E+2)=6(V+F)(2E+4E=6E.
這是不可能的,因此至少有一個頂點引出的弧數少於6.
