《九章算術》第九卷《勾股》章第十五題；“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？答曰三步十七分步之九。術曰：並勾股為法，勾股相乘為實，實如法而一，得方一步。”如圖直角三角形ABC中內接正方形DEFB。直角三角形高（股)）H=AB，底長（勾）L=BC，正方形邊長為X。答案：以勾5步、股12步之和為分母（並勾股為法）；以勾5步股、12步之積為分子（勾股相乘為實）得勾中容方邊長= 12x5/(12+5) = 60/17=3 9/17
劉徽為勾股容方的關係式，提供了兩個證明，一個是利用出入相補原理，即利用幾何圖形在移動、轉動時面積守恆，將幾何圖形重新排列，以求結果的方法。先將三角形ABC複製，倒置，和原三角形合併成為一個高為H、寬為L的長方形，如圖。將兩個正方形標以黃色，兩個大直角三角形標紅色，兩個小直角三角形標青色
HL = X(H+L)
由此得出勾股容方的關係式；
長度X= HL/(H+L)。
劉徽的第二個證明，利用相似三角形比率不變原理。劉徽注曰：“冪圖方在勾中，則方之兩廉各自成小勾股，其相與之勢，不失本率也”。 即內接正方形DEFB的兩邊DE,EF與直角三角形的三邊，各自形成小的直角三角形，而這兩個小直角三角形三邊的比例，和原來大直角三角形的三邊比率相同。劉徽從勾中容方中歸納出“不失本率”原理，即三個相似三角形比率相同。
AD：DE：AE= EF：FC：EC=AB：BC：AC
令股高為H，勾長為L, 勾股容方的邊長為 X, 根據不失本率原理，
（H-X)：X = H／LHL - XL = HXHL+ XL = HL得勾股容方關係式X = HL/(H+L)股中容直
勾中容方 股中容直勾中容方可以轉變為股中容直
將三角形ABC倒置，與之重疊成長方形ABCD 如圖；其次從勾中容方接觸點E畫水平線EM，垂直線EK，與長方形的邊相交，如圖，三角形ACD內接長方形KDME，構成股中容直。
圖中三角形ABC中內接紅色正方形１，三角形ADC有內接長方形２。
中國古代數學中的一條定理，“勾中容方與股中容直，其積必等”由此而來。
由於三角形ABC相等三角形ADC，而三角形３＝三角形４；三角形５＝三角形６；所以從三角形ABC中減去三角形３，三角形５，剩下的長正方形５１必然等於三角形ACD減去三角形４和三角形６後剩餘的長方形２。
即：
三角形ABC＝正方形１＋三角形３＋三角形５三角形ADC＝長方形２＋三角形４＋三角形６但三角形ABC=三角形ADC所以正方形１＋三角形３＋三角形５=長方形２＋三角形４＋三角形６又有 三角形３=三角形5
三角形5 =三角形6所以
正方形１＝長方形２如以X 代表正方形邊長，H代表股高，L代表勾長得勾股容方的另一關係式；X這個關係式和關係式 X= HL/(H+ L) 等價；
X由此得出 X= HL/(H+ L)今有邑方二百里各中開門《九章算術》第九卷勾股第十七題：“今有邑方二百里各中開門。出東門十五步有木，問出南門幾何步而見木？答曰：六百六十六步太半步。”
如圖，方城寬200步，出東門15步有一棵樹T,出南門X步到P點看到樹，求X.
根據上列“勾中容方與股中容直，其積必等”定理，可得
15 * X = 100 x 100步X = 10000 /15 = 666.6步勾中容橫
勾中容橫 股中容直今有邑，東西七里，南北九里，各開中門再推廣一步圖中三角形ABC中內接紅色橫長方形５，三角形ADC有內接長方形６。“勾中容橫，股中容直，二積皆等”。 由於三角形ABC相等三角形ADC，而三角形１＝三角形２；三角形３＝三角形４；所以從三角形ABC中減去三角形１，三角形３，剩下的長方形５必然等於三角形ACD減去三角形２三角形４後剩餘的長方形６。
又； 長方形５＋三角形３＋三角形４ ＝ 長方形６＋三角形4＋三角形2
即長方形EBGC ＝長方形HDKC
所以EB x BC ＝ FG x AB
又； 長方形５＋三角形１＋三角形２ ＝長方形６＋三角形１＋三角形２ 即； 長方形AHKB = 長方形ADGE 即EF x AB =AE x EG
《九章算術》第九卷第十八問：“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門。出東門十五里有木，問出南門幾何步而見木？答曰：三百一十五步。”
用勾中容橫與股中容直，其積必等定理
得 15X = 3.5 x 4.5
X = 3.5 x 4.5/15 =1.05 里 = 1.05 x 300 = 315步薄透鏡成像
薄透鏡成像牛頓透鏡成像公式的勾股容方薄透鏡成像的規律（包括牛頓透鏡成像公式）蘊含著勾股容方的關係式。加拿大科學家Harold Merklinger所著的關於攝影機鏡頭景深的書籍，封面上正是一幅“勾股容方”圖
如圖物距為D, 像距為d, 透鏡焦點為f
透鏡成像公式： 1/f = 1/D + 1/d = Dd/(D+d)
即 f = Dd/(D+d)
這恰恰是勾股容方的關係式， 即勾d,股D, 容方長為f.
從勾股容方，股中容長，其積相等原理，可知圖中黃方形的面積=藍長方形的面積，
(D-f) (d-f) = f*f參考文獻
戴震《句股容方圖》九章算術》注曰；“勾股相乘為朱、青、黃冪各二，令黃冪連於下隅，朱、青各以類合，共成修冪。中方黃為廣，並勾股為袤，故並勾股為法。”
^ [1]
《九章算術》第九卷
吳文俊主編 《中國數學史大系》 第三卷 第三章 劉徽對勾股理論的論述 第三節 ISBN 7-303-04557-0
Harold Merklinger: The INs and OUTs of FOCUS ISBN 0-9695025-0-8
