法平面

法平面

法平面是數學術語,是指過空間曲線的切點,且與切線垂直的平面,稱為法平面。即垂直於虛擬法線的平面。例如,球體的中心為端點的射線,與球面所在的每一切點所在的切面即法平面(法面)。

法平面方程

設空間曲線T由參數方程

法平面 法平面
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表示,其中 、 、 都是在 上可導的函式,且 , , 不全為0。

法平面 法平面
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考慮曲線T上對應於 的一點 及對應於 的鄰近一點 ,根據空間解析幾何知,曲線的割線 的方程是

法平面 法平面

法平面 法平面
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當點M沿曲線T趨向於點 時,割線 的極限位置 就是曲線T在點 處的切線。

法平面 法平面

通過對上式取極限,即得曲線T在點 處的切線方程

法平面 法平面
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法平面 法平面

切線的方向向量稱為曲線T在點 處的切向量,它是一個非零向量。若 、 、 中個別為0,切線方程應按空間解析幾何中有關直線的對稱式方程的說明來理解。

法平面 法平面
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通過點 而與切線垂直的平面稱為曲線T在點 處的法平面。它是通過點 而以T為法向量的平面,因此這法平面的方程為

法平面 法平面

公式推廣

法平面 法平面

1、如果空間曲線T以形式給出,可以選x為參數從而將曲線方程改為

x=x

法平面 法平面
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,都在處可導,則T上點處的切向量可取為

法平面 法平面
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從而點處的切線方程為

法平面 法平面

法平面方程為

法平面 法平面

2、如果空間曲線T以

法平面 法平面
法平面 法平面
法平面 法平面

的形式給出,是曲線T上的一點,不難推得,曲線T上點處的切線方程為

法平面 法平面
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曲線T上點處的法平面方程為

法平面 法平面
法平面 法平面

這裡的行列式表示行列式在點的值。

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