定義
正規化子
正規化子設 是群 的一個子集，稱
正規化子 正規化子 正規化子
正規化子
正規化子為 在 中的 正規化子，元素的正規化子記為 。
相關定理
定理1
正規化子 正規化子設 是群 的任一非空子集，則
正規化子(1)
正規化子
正規化子
正規化子(2) 當 時， 且 。
正規化子
正規化子 正規化子
正規化子
正規化子證明（1）因為 ，故 非空，又在 中任取x，y，則 ， ，從而
正規化子
正規化子
正規化子
正規化子
正規化子即 ， ，故 。
正規化子
正規化子（2）任取 ，由於H是子群，故 從而
正規化子
正規化子
正規化子
正規化子又任取 ，則 ，從而 。
正規化子
正規化子
正規化子如果 ，則對K中任意元素k便有 ，從而便有 ，即
正規化子
正規化子 正規化子這就是說子群的正規化子 (也叫H的正規化群)是 中以H作為其正規子群的最大子群。
正規化子 正規化子
正規化子
正規化子
正規化子顯然子群H的正規化子是整個群 若且唯若H是群 的一個正規子群，另外也可能出現另一種極端，即 ，例如三次對稱群 的子群 就屬於這種情況。
定理2
正規化子 正規化子 正規化子 正規化子 正規化子 正規化子設 是群 的一個非空子集， 為 在 中的正規化子，則 中與共軛的子集數等於
正規化子 正規化子 正規化子，即S的所有共軛子集與 關於 的所有陪集間可建立雙射。
證明 令是中含的共軛子集類（即與共軛的全體子集），再令
正規化子
正規化子
正規化子若 ,則便有 ,從而
正規化子
正規化子 正規化子 正規化子即 是M到 的左陪集的一個映射，又易知 還是滿射和單射，從而為雙射。
定理3
pq階群（p，q為素數且p<q）有唯一的q階正規子群。
定理4
正規化子
正規化子 正規化子
正規化子
正規化子引理 設 ，是群 的兩個共軛子群，且 , ，則
正規化子即
正規化子
正規化子 正規化子 正規化子 正規化子定理 設 是群 的一個共軛元素類，則 中各元素的正規化子作成的集合恰好是 的一個共軛子群類。
正規化子
正規化子證明 任取 ，且設 ，由引理有
正規化子 正規化子
正規化子又設子群H與 共軛，其中 ，令
正規化子則由引理知
正規化子
正規化子 正規化子 正規化子但是 ，即與 共軛的子群必為 中某元素的正規化子。
定理5
正規化子 正規化子如果群 中有一個具有限指數（大於1）的子群，則在 中必有一個具有限指數（大於1）的正規子群。
