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同構基本定理最早由埃米·諾特（Emmy Noether）在她於1927在德國數學期刊 數學分析（Mathematische Annalen）發表的論文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明確闡述。
定義定理
群同態定理
我們首先敘述群論中的同態基本定理，他們的形式相對簡單，卻表達了商群的重要性質。定理的敘述中用到了關於正規子群的等價類概念。
第一基本定理
敘述：如果 f是群 G到群 H的一個群同態，則
f的核(kernel) K是 G的正規子群; 商群 G/ K群同構於 f的像（image）; f的像是 H的子群。 數學表達
G, H是群 是群同態 則 是 H的子群。 群同態第二基本定理 （或稱群同態第三基本定理）敘述：如果 H和 K是群 G的子群， H是 K的正規化子的子群，則
H與 K的乘積 HK是 G的子群； K是 HK的正規子群， H∩ K是 H的正規子群； HK/ K同構於 H/( H∩ K)。 數學表達
H, K是 G的子群 H是的子群 則 H K是 G的子群 群同態第三基本定理 （或稱群同態第二基本定理）敘述：如果 M、 N是 G的正規子群， M屬於 N，那么
M是 N的正規子群; N/ M是 G/ M的正規子群； ( G/ M)/( N/ M)同構於 G/ N。 數學表達
則
環和模上形式
將定理中的“群”換為“ R-模”，將“正規子群”換為“子模”，就得到對於確定的環 R上的模的同構基本定理，（因此同構基本定理對於確定的域上的向量空間也成立）對於向量空間，同構第一基本定理即是秩-零化度定理。 將定理中的“群”換為“環”，“子群”換為“子環”，“正規子群”換為“理想”，“商群”換為“商環”就得到環的同構基本定理。 與子群的乘積 HK相對應的定義是子模，子環，子空間的並，用 H+ K而不再用 HK表示。具體的定義是：
定理推廣
廣泛代數中，正規子群被推廣為更廣泛的共軛類的概念。
設 A是一個代數結構， A的一個 同餘類是 A上的一個等價關係Φ，可看作是 A x A上的子代數。等價類 A/Φ的集合在定義了適合的運算法則後，便可成為與 A同類型的代數結構。
第一同構定理
設 A和 B是兩個代數結構， f是 A到 B的態射，則 A等價關係Φ： a~b若且唯若 f(a)=f(b)是 A上的一個同餘類，並且 A/Φ同構於 f的像（ B的子代數）。
第二同構定理
設 B是 A的子代數，Φ是 A上的同餘類。令[B]Φ是所有包含 B種元素的同餘類的集合，它是 A/Φ的一個子集；Φ B是Φ限制在 B x B上的部分。那么[B]Φ是 A/Φ的子代數結構，Φ B是 B上的同餘類，並且[B]Φ同構於 B/Φ B。
第三同構定理
設 A是一個代數結構，Φ和Ψ是 A上的兩個同餘關係，Ψ包含於Φ。則Φ定義了 A/Ψ上的一個同餘類Θ： [a]~[b]若且唯若 a與 b關於 Φ同餘（ [a]表示 a所在的Ψ-等價類），並且 A/Φ同構於 (A/Ψ )/Θ。
