公理化定義
設F是一個域。一個F上的向量空間是一個集合V和兩個運算：
向量加法：+ : V × V → V 記作 v + w, ∃ v, w ∈ V
標量乘法：· : F × V → V 記作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V
符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：
向量加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w；
向量加法交換律：v + w = w + v；
向量加法的單位元：V 里有一個叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v；
向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0；
標量乘法分配於向量加法上：a(v + w) = a v + a w；
標量乘法分配於域加法上: (a + b)v = a v + b v；
標量乘法一致於標量的域乘法: a(b v) = (ab)v；
標量乘法有單位元: 1 v = v, 這裡 1 是指域 F 的乘法單位元。
有些教科書還強調以下兩個公理：
V 閉合在向量加法下：v + w ∈ V
V 閉合在標量乘法下：a v ∈ V
更抽象的說，一個F上的向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量，而F的成員叫作標量。若F是實數域R，V稱為實向量空間；若F是複數域C，V稱為復向量空間；若F是有限域，V稱為有限域向量空間；對一般域F，V稱為F-向量空間。
首5個公理是說明向量V在向量加法中是個阿貝爾群，餘下的5個公理套用於標量乘法。
以下都是一些很容易從向量空間公理推展出來的特性：
零向量0 ∈ V（公理3）是唯一的
a 0 = 0，∀ a ∈ F
0 v = 0，∀ v ∈ V，這裡 0 是F的加法單位元
a v = 0 ，則可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0
v的加法逆元（公理4）是唯一的（寫成−v），這兩個寫法v − w 及 v + (−w) 都是標準的
(−1)v = −v，∀ v ∈ V
(−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V
線性無關
如果V是一個線性空間，如果存在不全為零的係數c1, c2, ..., cn∈F，使得c1v1+ c2v2+ ... + cnvn= 0，那么其中有限多個向量v1, v2, ..., vn稱為線性相關的.
反之，稱這組向量為線性無關的。更一般的，如果有無窮多個向量，我們稱這無窮多個向量是線性無關的，如果其中任意有限多個都是線性無關的。
子空間
設W為向量空間 V 的一個非空子集，若W在 V 的加法及標量乘法下是封閉的，就稱W為 V 的線性子空間。
給出一個向量集合 B，那么包含它的最小子空間就稱為它的擴張，記作 span(B)。另外可以規定空集的擴張為{0}。
給出一個向量集合 B，若它的擴張就是向量空間 V， 則稱 B 為 V 的生成集合。
給出一個向量集合 B，若B是線性無關的，且B能夠生成V，就稱B為V的一個基。若 V={0}，唯一的基是空集。對非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集，也是極大線性無關組。
如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那么就稱 V 是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如，實數向量空間：R0, R1, R2, R3, …中， Rn的維度就是 n。
空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中向量的線性組合。而且，將基中向量進行排列，表示成有序基，每個向量便可以坐標系統來表示。
線性映射
若 V 和 W 都是域F上的向量空間，可以設定由V到W的線性變換或“線性映射”。這些由V到W的映射都有共同點，就是它們保持總和及標量商數。這個集合包含所有由V到W的線性映射，以 L(V, W) 來描述，也是一個域F上的向量空間。當 V 及 W 被確定後，線性映射可以用矩陣來表達。
同構是一對一的一張線性映射。如果在V 和W之間存在同構，我們稱這兩個空間為同構；域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構。
一個在F場的向量空間加上線性映射就可以構成一個範疇，即阿貝爾範疇。
額外結構
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：
一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為賦范向量空間。
一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。
一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續映射）稱為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性運算元（定義為向量乘法）是個域代數。
