定義
群 G的一個元素 a的 中心化子（記作 C( a)）是 G的和 a可交換的元素的集合；換句話說，C( a) = { x屬於 G: xa= ax}。若 H為 G的子群，則C( a) = C( a) ∩ H。如果沒有歧義，則可以將C( a)記作C( a)。
更一般地，令 S為 G的任意子集（不必是子群）。則 S在 G中的中心化子定義為C( S) = { x屬於 G：對於所有 s屬於 S, xs= sx}。若 S= { a}，則C( S) = C( a)。
C( S)是 G的子群；因為若 x、 y屬於 C( S) ，則對每個 s屬於 S， xy s= xsy= sxy。於是 xy屬於 C( S)。
群的中心
群 G的 中心是C( G)，通常記作Z( G)。一個群的中心既是正規子群也是交換群，而且有很多其它重要屬性。我們可以將 a的中心化子視作最大的（用包含關係為序） G的子群 H，滿足 a屬於其中心Z( H)的條件。
正規化子
一個相關的概念是， S在 G中的 正規化子，記作N( S)或者N( S)。正規化子定義為N( S) = { x屬於 G: xS= Sx}。同樣的是，N( S)可以視作 G的子群。正規化子的名字來源於如果我們令< S>為一個由 S生成的子群，則N( S)是最大的滿足包含< S>為其正規子群的 G的子群。< S>在其中為正規子群的最小的 G的子群稱為共軛閉包。
G的子群 H稱為 G的 子正規化子群，如果N( H) = H.
性質
若 G是交換群，則任何 G的子集的中心化子和正規化子就是 G的全部；特別是，一個群可交換，若且唯若Z( G) = G。
若 a和 b是 G的任意元素，則 a在C( b)中，若且唯若 b在C( a)中，這有若且唯若 a和 b可交換。 若 S= { a}則N( S) = C( S) = C( a)。
C( S)總是N( S)的正規子群：若 c屬於C( S)而 n屬於N( S)，我們要證明 n cn屬於C( S)。為此，取 s屬於 S並令 t= nsn。則 t屬於 S，所以 ct= tc。注意到 ns= tn；以及 n t= sn。我們有
( n cn) s= ( n c) tn= ( n( tc) n= ( sn) cn= s( n cn).
這也就是要證明的命題。
若 H是 G的子群，則 N/C定理表明因子群N( H)/C( H)同構於Aut( H)（ H的自同構群）的子群。
因為N( G) = G，N/C定理也意味著 G/Z( G)同構於Inn( G)（由所有 G的內自同構組成的Aut( G)的子群）。
如果我們通過 T( x)( g) = T( g) = xgx定義群同態 T: G→ Inn( G)，則我們可以用Inn("G")在 G上的群作用來表述N( S)和C( S)： S在Inn( G)中的定點子群就是 T(N( S))，而Inn( G)中固定 S的子群就是 T（C( S)）。
