歐拉準則

歐拉準則或稱為壓力相似準則，即兩個流動的慣性力和流體動壓力成比例，則它們的歐拉數相等。

（Euler Criterion）
兩個流動的慣性力和流體動壓力成比例，則它們的歐拉數相等，這就是歐拉準則，或稱為壓力相似準則
目錄
1 敘述
2 舉例
2.1 例子一：對於給定數，尋找其為二次剩餘的模數
2.2 例子二：對指定的質數p，尋找其二次剩餘
3 證明
敘述
若p是奇質數且p不能整除d，則：
d是模p的二次剩餘若且唯若：
d是模p的非二次剩餘若且唯若：
以勒讓德符號表示，即為：
舉例
例子一：對於給定數，尋找其為二次剩餘的模數
令a = 17。對於怎樣的質數p，17是模p的二次剩餘呢？
根據判別法里給出的準則，我們可以從小的質數開始檢驗。
首先測試p = 3。我們有：17(3 − 1)/2 = 171 ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3)，因此17不是模3的二次剩餘。
再來測試p = 13。我們有：17(13 − 1)/2 = 176 ≡ 1 (mod 13)，因此17是模13的二次剩餘。實際上我們有：17 ≡ 4 (mod 13)，而22 = 4.
運用同餘性質和勒讓德符號可以加快檢驗速度。繼續算下去，可以得到：
對於質數p =，(17/p) = +1（也就是說17是模這些質數的二次剩餘）。
對於質數p =，(17/p) = +1（也就是說17是模這些質數的二次非剩餘）。
例子二：對指定的質數p，尋找其二次剩餘
哪些數是模17的二次剩餘？
我們可以手工計算：
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25 ≡ 8 (mod 17)
62 = 36 ≡ 2 (mod 17)
72 = 49 ≡ 15 (mod 17)
82 = 64 ≡ 13 (mod 17)
於是得到：所有模17的二次剩餘的集合是1,2,4,8,9,13,15,16。要注意的是我們只需要算到8，因為9=17-8，9的平方與8的平方模17是同餘的：92 = (−8)2 = 82 ≡ 13 (mod 17).（同理不需計算比9大的數）。
但是對於驗證一個數是不是模17的二次剩餘，就不必將所有模17的二次剩餘全部算出。比如說要檢驗數字3是否是模17的二次剩餘，只需要計算3(17 − 1)/2 = 38 ≡ 812 ≡ − 42 ≡ − 1 (mod 17)，然後由歐拉準則判定3不是模17的二次剩餘。
歐拉準則與高斯引理以及二次互反律有關，並且在定義歐拉-雅可比偽素數（見偽素數）時會用到。
證明
首先，由於p 是一個奇素數，由費馬小定理，。但是p − 1是一個偶數，所以有
p 是一個素數,所以 和 中必有一個是p 的倍數。因此模p的餘數必然是1或-1。
證明若d是模p的二次剩餘，則
若d是模p的二次剩餘，則存在 ，p跟d,x互質。根據費馬小定理得：
證明若，則d是模p的二次剩餘
p 是一個奇素數，所以關於p的原根存在。設a是p的一個原根，則存在使得d = aj。於是
a是p的一個原根，因此a模p的指數是p − 1，於是p − 1整除。這說明j是一個偶數。令，就有(ai)2 = a2i = d。d是模p的二次剩餘。