定理
拉格朗日中值定理如果函式f(x)在(a，b)上可導，[a,b]上連續，則必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
幾何意義
在(a，b)上可導，[a,b]上連續是拉格朗日中值定理成立的充分條件。
1.在滿足定理條件的前提下，函式f(x)上必有【一點的切線】與【f（x）在x=a，b處對應的兩點（(a,f(a))和(b,f(b))點的連線平行）。f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a），等號後為x=a，b對應兩點的連線斜率，等號前為f(x)上一點的導數的值，也就是f(x)上一點的斜率，兩斜率相等，兩線平行。這是幾何上的理解方式。
2.我們將f(x)函式求導，得到f'(x)，眾所周知f'(x)函式記錄的其實就是【f(x)函式在每一個瞬間的變化狀態】。即，在x=x1這一瞬間f（x）進行了程度為f'(x1)的變化，在x=x2這一瞬間f（x）進行了程度為f'(x2)的變化……。函式由f(a)變化到f(b)的過程，其實就是f'(x)函式在(a，b)區間中記錄的變化狀態的依次累加，就是對f'(x)函式在(a，b)區間的值進行積分的過程。那么，將這一過程中所有的變化狀態的值一起取一個平均，這個平均值的數值一定在f'(x)的某一點上出現過（即f'(ξ)），因為f(x)連續，則其導數也連續。這個平均值乘上變化的區間（a到b）的長度就等於這個變化的變化量。即所謂的必有一，使f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b區間上f（x）函式的變化量】=【a，b區間內f（x）函式變化狀態的平均值乘以區間長度】。這是代數理解方式。
其他形式
令f(x)為y，則該公式可寫成
△y=f'(x+θ△x)*△x(0<θ<1)
上式給出了自變數取得的有限增量△x時，函式增量△y的準確表達式，因此本定理也叫有限增量定理。
f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))（b-a）,0<θ<1.
f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h,0<θ<1.
定理內容
若函式f(x)在區間[a,b]滿足以下條件：
(1)在[a,b]連續
(2)在(a,b)可導
當a<c<b時，
則在(a,b)中至少存在一點f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)；
使公式f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中a<c<b
證明
如果函式f(x)在（a，b）上可導，[a,b]上連續，則必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意圖令f(x)為y，所以該公式可寫成△y=f'(x+θ△x)*△x(0<θ<1)
上式給出了自變數取得的有限增量△x時，函式增量△y的準確表達式，因此本定理也叫有限增量定理。
定理內容
若函式f(x)在區間[a,b]滿足以下條件:
(1)在[a,b]連續
(2)在(a,b)可導
則在(a,b)中至少存在一點c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
證明
把定理裡面的c換成x再不定積分得原函式f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
做輔助函式G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).
易證明此函式在該區間滿足條件:
1.g(a)=g(b)=0;
2.g(x)在[a,b]連續;
3.g(x)在(a,b)可導.
此即羅爾定理條件,由羅爾定理條件即證。
幾何意義
若連續曲線y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點間的每一點處都有不垂直於x軸的切線,則曲線在A,B間至少存在1點P(c,f(c)),使得該曲線在P點的切線與割線AB平行。
物理意義
對於直線運動，在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速度等於這個過程中的平均速度。
推論
如果函式在區間Q上的導數恆為零，那么函式在區間Q上是一個常數。
證明：f(b)-f(a)=f'(ξ)*(b-a)ξ∈[a,b]
由於已知f'(ξ)=0，f(b)-f(a)=0，即f(b)=f(a)
這就是說，在區間內任意兩點的函式值都相等。因此函式在區間內是一個常數。
