定理定義
在組合數學上，拉姆齊(Ramsey)定理是要解決以下的問題：要找這樣一個最小的數 n，使得 n個人中必定有 k個人相識或 l個人互不相識。
通俗表述
6 個人中至少存在3人相互認識或者相互不認識。
該定理等價於證明這6個頂點的完全圖的邊，用紅、藍二色任意著色，必然至少存在一個紅色邊三角形，或藍色邊三角形。
驗證推導
R(3,3)=6
拉姆齊定理證明如下：首先，把這6個人設為A、B、C、D、E、F六個點。由A點可以引出AB、AC、AD、AE、AF五條線段。設：如果兩個人認識，則設這兩個人組成的線段為紅色；如果兩個人不認識，則設這兩個人組成的線段為藍色。
由抽屜原理可知：這五條線段中至少有三條是同色的。不妨設AB、AC、AD為紅色。若BC或CD為紅色，則結論顯然成立。若BC和CD均為藍色，則若BD為紅色，則一定有三個人相互認識；若BD為藍色，則一定有三個人互相不認識。
拉姆齊數
拉姆齊數，用圖論的語言有兩種描述：
對於所有的 N頂圖，包含 k個頂的團或 l個頂的獨立集。具有這樣性質的最小自然數 N就稱為一個拉姆齊數，記作 R( k, l)；
在著色理論中是這樣描述的：對於完全圖Kn的任意一個2邊著色( e1, e2)，使得 Kn[ e2]中含有一個 k邊形， Kn[ e1]含有一個l邊形，則稱滿足這個條件的最小的n為一個拉姆齊數。（注意： K i按照圖論的記法表示i階完全圖）
拉姆齊證明，對與給定的正整數數 k及 l， R( k, l)的答案是確定和有限的。
拉姆齊數亦可推廣到多於兩個數：
對於完全圖 Kn的每條邊都任意塗上r種顏色之一，分別記為 e1,e2,e3,...,er ，在Kn中，必定有個顏色為e1的l1邊形，或有個顏色為 e2的 l2邊形……或有個顏色為 er的 lr邊形。符合條件又最少的數 n則記為 R( l1, l2, l3,..., lr; r)。
拉姆齊數的數值或上下界
已知的拉姆齊數非常少，保羅·艾狄胥曾以一個故事來描述尋找拉姆齊數的難度：“想像有隊外星人軍隊在地球降落，要求取得 R(5,5)的值，否則便會毀滅地球。在這個情況，我們應該集中所有電腦和數學家嘗試去找這個數值。若它們要求的是 R(6,6)的值，我們要嘗試毀滅這班外星人了。”
已知的拉姆齊數
R(3,3)=6, R(3,4)= R(4,3)=9, R(3,5)= R(5,3)=14, R(3,6)= R(6,3)=18, R(3,7)= R(7,3)=23, R(3,8)= R(8,3)=28
R(3,9)= R(9,3)=36, R(4,4)=18, R(4,5)= R(5,4)=25
拉姆齊定理關於拉姆齊數，有，當a,b大於等於2時。
顯然易見的公式：
1° R(1, s)=1
2° R(2, s)= s R( l1, l2, l3,..., lr; r)=R(l2,l1,l3,...,lr;r)= R( l3, l1, l2,..., lr; r) （將 li的順序改變並不改變拉姆齊的數值）
R(3,3)等於6的證明
拉姆齊定理證明：在一個K6的完全圖內，每邊塗上紅或藍色，必然有一個紅色的三角形或藍色的三角形。
•任意選取一個端點P ，它有5條邊和其他端點相連。
•根據鴿巢原理，5條邊的顏色至少有3條相同，不失一般性設這種顏色是紅 色。
•在這3條邊除了P以外的3個端點，它們互相連結的邊有3條。
•若這3條邊中任何一條是紅色，這條邊的兩個端點和P相連的2邊便組成一個紅色三角形。
•若這3條邊中任何一條都不是紅色，它們必然是藍色，因此，它們組成了一個藍色三角形。
•而在K5內，不一定有一個紅色的三角形或藍色的三角形。 每個端點和毗鄰的兩個端點的線是紅色，和其餘兩個端點的連線是藍色即可。這個定理的通俗版本就是友誼定理 。
