簡介
拉姆齊數(Ramsey number)是圖論的重要函式之一。它是一個以兩個正整數作為變數的函式。設m和n為正整數。所謂拉姆齊數,常用r(m ,n)表示,是指符合一定條件的p(圖的階數)的最小值。任何一個p階的圖G,若不含完全圖Km作為一個子圖,則必有一個含n個節點的獨立集。一個(m,n)拉姆齊圖是指階為r(m,n)-1,既不含m個節點的完全圖作為子圖,也不含n個節點的獨立集的圖。設k1,k2,...,kq是q個正整數,所謂廣義拉姆齊數r(k1,k2,.. ,kq),是指符合下列條件的p的最小值:對於p階完全圖Kp,用q種色(cl,c2,...cq)對Kp的邊任意著色,則存在某一色ci,所有著這一種色的邊的導出子圖包含Kki作為一子圖。對於正整數m,n,所謂邊拉姆齊數rl(m,n),就是指符合如下條件的p的最小值:對於任何一個p階的圖,其上必有m條邊兩兩互不相鄰,或有n條邊以同一節點為端點。關於r(m,n)的存在性,是由拉姆齊(Ramsey , F. P.)首先給出的。
圖論
圖論〔Graph Theory〕是數學的一個分支。它以圖為研究對象。圖論中的圖是由若干給定的點及連線兩點的線所構成的圖形,這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關係,用點代表事物,用連線兩點的線表示相應兩個事物間具有這種關係。
圖G=(V,E)是一個二元組(V,E)使得E⊆[V]的平方,所以E的元素是V的2-元子集。為了避免符號上的混淆,我們總是默認V∩B=Ø。集合V中的元素稱為圖G的定點(或節點、點),而集合E的元素稱為邊(或線)。通常,描繪一個圖的方法是把定點畫成一個小圓圈,如果相應的頂點之間有一條邊,就用一條線連線這兩個小圓圈,如何繪製這些小圓圈和連線時無關緊要的,重要的是要正確體現哪些頂點對之間有邊,哪些頂點對之間沒有邊。
圖論本身是套用數學的一部份,因此,歷史上圖論曾經被好多位數學家各自獨立地建立過。關於圖論的文字記載最早出現在歐拉1736年的論著中,他所考慮的原始問題有很強的實際背景。
定義
拉姆齊數,用圖論的語言有兩種描述:
對於所有的 N頂圖,包含 k個頂的團或 l個頂的獨立集。具有這樣性質的最小自然數 N就稱為一個拉姆齊數,記作 R( k, l);
在著色理論中是這樣描述的:對於完全圖Kn的任意一個2邊著色( e1, e2),使得 Kn[ e2]中含有一個 k邊形, Kn[ e1]含有一個l邊形,則稱滿足這個條件的最小的n為一個拉姆齊數。(注意: K i按照圖論的記法表示i階完全圖)
拉姆齊證明,對與給定的正整數數 k及 l, R( k, l)的答案是唯一和有限的。
拉姆齊數亦可推廣到多於兩個數:
對於完全圖 Kn的每條邊都任意塗上r種顏色之一,分別記為 e1,e2,e3,...,er ,在Kn中,必定有個顏色為e1的l1邊形,或有個顏色為 e2的 l2邊形……或有個顏色為 er的 lr邊形。符合條件又最少的數 n則記為 R( l1, l2, l3,..., lr; r)。
拉姆齊數的數值或上下界
已知的拉姆齊數非常少,保羅·艾狄胥曾以一個故事來描述尋找拉姆齊數的難度:“想像有隊外星人軍隊在地球降落,要求取得 R(5,5)的值,否則便會毀滅地球。在這個情況,我們應該集中所有電腦和數學家嘗試去找這個數值。若它們要求的是 R(6,6)的值,我們要嘗試毀滅這班外星人了。”
顯然易見的公式:
1° R(1, s)=1
2° R(2, s)= s R( l1, l2, l3,..., lr; r)=R(l2,l1,l3,...,lr;r)= R( l3, l1, l2,..., lr; r) (將 li的順序改變並不改變拉姆齊的數值)
R(3,3)等於6的證明
證明:在一個K6的完全圖內,每邊塗上紅或藍色,必然有一個紅色的三角形或藍色的三角形。
•任意選取一個端點P ,它有5條邊和其他端點相連。
•根據鴿巢原理,5條邊的顏色至少有3條相同,不失一般性設這種顏色是紅 色。
•在這3條邊除了P以外的3個端點,它們互相連結的邊有3條。
•若這3條邊中任何一條是紅色,這條邊的兩個端點和P相連的2邊便組成一個紅色三角形。
•若這3條邊中任何一條都不是紅色,它們必然是藍色,因此,它們組成了一個藍色三角形。
•而在K5內,不一定有一個紅色的三角形或藍色的三角形。 每個端點和毗鄰的兩個端點的線是紅色,和其餘兩個端點的連線是藍色即可。這個定理的通俗版本就是友誼定理。
一個圖集對完全圖的拉姆齊數
本文中的圖都是指簡單圖。用G表示一個圖,Kn表示一個n階完全圖。拉姆齊數r(G,Kn)表示滿足如下條件的最小正整數N:當用紅藍兩種顏色給N階完全圖著色時,要么紅色圖中含有G,要么藍色圖中含有Kn。設C表示一個圈圖集,拉姆齊數r(C,Kn)表 示 滿 足 如 下 條 件 的 最 小 正 整 數N:若圖F是一個N階圖,則圖F至少含有C的一個元素,或者F含有Kn。圖Kk+C是指:頂點集由Kk和C的頂點組成,邊集由Kk和C的所有邊,另外還有連線Kk和C的頂點之間的所有邊組成。
拉姆齊定理定義
在組合數學上,拉姆齊(Ramsey)定理是要解決以下的問題:要找這樣一個最小的數 n,使得 n個人中必定有 k個人相識或 l個人互不相識。
拉姆齊定理的通俗表述:
6 個人中至少存在3人相互認識或者相互不認識。
該定理等價於證明這6個頂點的完全圖的邊,用紅、藍二色任意著色,必然至少存在一個紅色邊三角形,或藍色邊三角形。
註:這個定理以弗蘭克·普倫普頓·拉姆齊命名,1930年他在論文On a Problem in Formal Logic[2](《形式邏輯上的一個問題》)證明了R(3,3)=6。