張量積

“雙線性映射” “雙線性映射” “張量範疇”。

在向量空間範疇，對象之間的同態都是線性映射。但其實我們經常會碰到 “雙線性映射” 這種概念，比如內積就是一個雙線性映射 V x V --> C. 我們希望把 “雙線性” 這種性質歸於向量空間範疇。一個辦法就是，構造一個跟 V, W 有關的向量空間 Z，使得所有定義在 V x W 上的 “雙線性映射” 都可以由 “唯一” 一個定義在 Z 上的 “線性映射” 來代替。這個 Z 就叫 V 和 W 的張量積。
後來的發展表明，“張量積” 可以擴展到一般範疇。凡是在範疇中多個對象得到一個對象，並滿足一定結合規則和交換規則的操作都可以視為 “張量積”，比如集合的笛卡兒積，無交並，拓撲空間的乘積，等等，都可以被稱為張量積。帶有張量積操作的範疇叫做 “張量範疇”。張量範疇現在被視為量子不變數理論的形式化，從而應該同量子場論，弦論都有深刻的聯繫。