幾何分支

幾何分支是經幾何學發展歷史悠長，內容豐富。它和代數、分析、數論等等關係極其密切。 幾何思想是數學中最重要的一類思想。

幾何學發展歷史悠長，內容豐富。它和代數、分析、數論等等關係極其密切。幾何思想是數學中最重要的一類思想。目前的數學各分支發展都幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數學理論。
最早的幾何學當屬平面幾何。平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（面積、長度、角度）。平面幾何採用了公理化方法，在數學思想史上具有重要的意義。
平面幾何的內容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積問題，人們實際上已經開始涉及微積分的最初概念。
笛卡爾引進坐標系後，代數與幾何的關係變得明朗，且日益緊密起來。這就促使了解析幾何的產生。解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立創建的。這又是一次具有里程碑意義的事件。從解析幾何的觀點出發，幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質。幾何圖形的分類問題（比如把圓錐曲線分為三類），也就轉化為方程的代數特徵分類的問題，即尋找代數不變數的問題。
立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究範疇，從而研究二次曲面（如球面，橢球面、錐面、雙曲面，鞍面）的幾何分類問題，就歸結為研究代數學中二次型的不變數問題。
總體上說，上述的幾何都是在歐氏空間的幾何結構--即平坦的空間結構--背景下考察，而沒有真正關注彎曲空間下的幾何結構。歐幾里得幾何公理本質上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設引起了人們對其正確性的疑慮。由此人們開始關注其彎曲空間的幾何，即“非歐幾何”。非歐幾何中包括了最經典幾類幾何學課題，比如“球面幾何”，“羅氏幾何”等等。另一方面，為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點也引入到觀察範圍內，人們開始考慮射影幾何。
這些早期的非歐幾何學總的來說，是研究非度量的性質，即和度量關係不大，而只關注幾何對象的位置問題--比如平行、相交等等。這幾類幾何學所研究的空間背景都是彎曲的空間。
為了引入彎曲空間的上的度量（長度、面積等等），我們就需要引進微積分的方法去局部分析空間彎曲的性質。微分幾何於是應運而生。研究曲線和曲面的微分幾何稱為古典微分幾何。但古典微分幾何討論的對象必須事先嵌入到歐氏空間裡，才定義各種幾何概念等等（比如切線、曲率）。一個幾何概念如果和幾何物體所處的空間位置無關，而只和其本身的性態相關，我們就說它是內蘊的。用物理的語言來說，就是幾何性質必須和參考系選取無關。
哪些幾何概念是內蘊性質的？這是當時最重要的理論問題。高斯發現了曲面的曲率（即反映彎曲程度的量）竟然是內蘊的---儘管它的原始定義看上去和所處的大空間位置有關。這個重要發現就稱為高斯絕妙定理。古典幾何的另一個重要發現就是高斯-博納特公式，它反映了曲率和彎曲空間裡的三角形三角之和的關係。
研究內蘊幾何的學科首屬黎曼幾何•黎曼在一次著名的演講中，創立了這門奠基性的理論。它首次強調了內蘊的思想，並將所有此前的幾何學對象都歸納到更一般的範疇里，內蘊地定義了諸如度量等等的幾何概念。這門幾何理論打開了近代幾何學的大門，具有里程碑的意義。它也成為了愛因斯坦的廣義相對論的數學基礎。
從黎曼幾何出發，微分幾何進入了新的時代，幾何對象擴展到了流形（一種彎曲的幾何物體）上--這一概念由龐加萊引入。由此發展出了諸如張量幾何、黎曼曲面理論、復幾何、霍奇理論、纖維叢理論、芬斯勒幾何、莫爾斯理論、形變理論等等。
從代數的角度看，幾何學從傳統的解析幾何發展成了更一般的一門理論--代數幾何。傳統代數幾何就是研究多項式方程組的零點集合作為幾何物體所具有的幾何結構和性質--這種幾何體叫做代數簇。解析幾何所研究的直線、圓錐曲線、球面、錐面等等都是其中的特例。稍微推廣一些，就是代數曲線，特別是平面代數曲線，它相應於黎曼曲面。代數幾何可以用交換代數的環和模的語言來描述，也可以從復幾何、霍奇理論等分析的方法去探討。代數幾何的思想也被引入到數論中，從而促使了抽象代數幾何的發展，比如算術代數幾何。
和傳統幾何密切相關的一門重要學科，就是拓撲學。它也可以視為一種“柔性”的幾何學，也是所有幾何學的研究基礎。這門學科的雛形由龐加萊創造，後來發展成了成熟的數學理論。拓撲學思想是數學思想中極為關鍵的內容。它討論了刻畫幾何物體最基本的一些特徵，比如虧格（洞眼個數）等等。由此還發展出了同調論、同倫論等等基礎性的理論。
除了以上傳統幾何學之外，我們還有閔可夫斯基建立的“數的幾何”；與近代物理學密切相關的新學科“熱帶幾何”；探討維數理論的“分形幾何”；還有“凸幾何”、“組合幾何”、“計算幾何”、“排列幾何”、“直觀幾何”等等。