球面幾何

球面幾何學是在二維的球面表面上的幾何學，也是非歐幾何的一個例子。 在平面幾何中，基本的觀念是點和線。 同樣的，在球面幾何中的角被定義在兩個大圓之間。

幾何學的一門分科。研究球面上圖形的幾何學。是古代從研究天體在天球上的“視運動”發展起來的，其中專門研究球面上三角形的性質的稱為“球面三角”。
球面幾何學是在二維的球面表面上的幾何學，也是非歐幾何的一個例子。
在平面幾何中，基本的觀念是點和線。在球面上，點的觀念和定義依舊不變，但線不再是“直線”，而是兩點之間最短的距離，稱為最短線。在球面上，最短線是大圓的弧，所以平面幾何中的線在球面幾何中被大圓所取代。同樣的，在球面幾何中的角被定義在兩個大圓之間。結果是球面三角學和平常的三角學有諸多不同之處。例如：球面三角形的內角和大於180°。
對比於通過一個點至少有兩條平行線，甚至無窮多條平行線的雙曲面幾何學，通過特定的點沒有平行線的球面幾何學是橢圓幾何學中最簡單的模式。
球面幾何學在航海學和天文學都有實際且重要的用途。
球面幾何學的重要關鍵在塑造真實投影平面，通過辨認在球面上獲得正相反的對跖點(分列在邊的兩側相對的點)。在當地，投影平面具有球面幾何所有的特性，但有不同的總體特性，特別是他是無定向的。
球面乃是空間中最完美勻稱的曲面。兩個半徑相等的球面可以用一個平移把它們疊合起來，而兩個半徑不相等的球面所相差者就是放大或縮小這種相似變換，由此可見本質性的球面幾何可以歸納到單位半徑的球面來研討。再者，在古典天文學的研討中，觀察星星的方向可以用單位球面上的一個點來標記它，而兩個方向之間的角度（亦即方向差）則相應於單位球面上兩點之間的球面距離(spherical distance) 。
這也就是為什麼古希臘天文學和幾何學總是合為一體的，而且古希臘的幾何學家對於球面三角學(spherical trigonometry)的投入程度要遠遠超過他們對於平面測量學的興趣，因為「量天的學問」才是他們所致力去理解者；它的確比丈量土地、計量財產等更引人入勝，是不？
從現代的觀點來看，球面幾何乃是空間幾何中蘊含在正交子群的部分，而向量幾何則是空間幾何中蘊含在平移子群的部分，而且兩者又密切相關、相輔相成，例如向量運算都是正交協變的(orthogonal covariant)，所以向量代數又是研討球面幾何的簡明有力的利器。