簡介
希爾伯特的《幾何基礎》的五組公理之一：同一平面內，過已知直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。任何兩點都是平行的，任何一點與任何一平面都是平行的。歐幾里得的定義：如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角和，那么這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。
平行公理的推論
定義：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。圖例：如果a與b平行，且b與c平行，則a與c平行。
概念：平行於同一條直線的兩條直線平行
證明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c證明:假使b、c不平行
則b、c交於一點O
又因為a‖b,a‖c
所以過O有b、c兩條直線平行於a
這就與平行公理矛盾
所以假使不成立
所以b‖c
由同位角相等，兩直線平行，可推出：
內錯角相等，兩直線平行。
同旁內角互補，兩直線平行。
因為 a‖b,a‖c,
所以 b‖c （平行公理的推論）
平行線性質定理
1.兩直線平行，同位角相等。2.兩直線平行，內錯角相等。
3.兩直線平行，同旁內角互補。 4.兩線平行並且不在一條直線上的直線 平行線： 1. 平行線的定義 在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線 AB平行於CD ，AB∥CD 2. 平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行 3. 平行公理的推論（平行的傳遞性）： 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 ∵a∥c，c ∥b ∴a∥b 平行線的判定
1. 兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 簡單說成：同位角相等，兩直線平行。 2. 兩條直線被第三條所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行 簡單說成：內錯角相等，兩直線平行。 3 . 兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行 簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行。
平行線的性質 1. 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． 簡單說成：兩直線平行，同位角相等。 2. 兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補. 簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補。 3 . 兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等． 簡單說成：兩直線平行，內錯角相等。
兩個角的數量關係兩直線的位置關係 垂直於同一直線的兩條直線互相平行 平行線間的距離，處處相等 如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補 平行線 相交線的兩端採用相同的線序製作出來的稱為平行線，使用不同線序製作的稱為交叉線。
