定義
給定n+1個點 （稱為插值點），所謂多項式插值就是找到一個多項式（稱為插值多項式）
使得它滿足條件
其中，i=0,1,...,n。也就是說，多項式y=P(x)的圖像要經過給定的n+1個點。
在實際套用中，這些插值點可能來自某次實驗測量所得的數據，也可能來自某個複雜函式 的值。通過計算插值多項式，我們可以找到這些實驗數據間的規律，或者使用簡單的多項式函式 來近似複雜的函式 。
唯一性和誤差
定理一：
給定n+1個點 ,若 兩兩不同，則存在 唯一一個次數不超過n的多項式 ，使得 成立。
證明：利用范德蒙德矩陣和代數學基本定理即得。
當 的值來自某個函式 ，且f(x)具有n+1階連續導數時，下面的定理可以用來計算多項式插值的（截斷）誤差。
定理二：
給定n+1個點 ,其中 ，進一步假設函式f(x)具有n+1階連續導數，則插值多項式P(x)的誤差R(x)為
其中，
計算方法
給定n+1個點, 計算插值多項式的主要方法有：直接法、拉格朗日多項式插值和牛頓多項式插值。下面我們分別介紹這三種方法。
（注意，根據定理一，這三種方法得到的插值多項式在理論上說應該是一致的，而且誤差也相同。）
直接法
根據定理一，假設插值多項式為
由插值條件 ，我們得到關於係數 , ,…, , 的線性方程組
通過求解這個線性方程組，即得到插值多項式。
優點：直接，性質一目了然。
缺點：待求解的線性方程組的係數矩陣為范德蒙德(Vandermonde)矩陣，它是一個病態矩陣，這使得在實際求解方程組時將產生很大的誤差。
拉格朗日多項式插值
拉格朗日(Lagrange)多項式插值的原理是：先構造一組拉格朗日基函式 ，這些基函式為次數不超過n的多項式，且具有性質
然後將這些基函式做線性組合，得到拉格朗日插值多項式
容易驗證，多項式L(x)滿足插值條件
拉格朗日基函式 的構造如下：
由基函式的性質，當 時， ，即 為 的零點，可以假設
其中，K為待定係數。再由 ，得到
從而得到
因此，基函式
令 ，則 還可以表示為
下面的定理說明 稱為基函式的原因：
定理三：令 為全體次數不超過n的多項式構成的集合，則 是線性空間 的一組基。
Matlab 實現
均差與牛頓多項式插值
牛頓多項式插值是基於均差的計算。首先定義均差如下：
函式f(x)關於點的一階均差（或差商）為
一階均差反映了函式在區間的平均變化率
用遞歸的方式，我們定義二階均差為
同理，k階均差為
特別地，0階均差定義為 。
根據均差的定義，構造均差表如下：
如果將x也看作一個點，由均差的定義可以得到
其中，
稱為牛頓插值多項式。
為插值餘項 。
由 定理一和 定理二得到均差和導數的關係如下：
其中，
Matlab實現
比較
拉格朗日多項式插值的計算量大於牛頓多項式插值的計算量。
特別地，當新增一個插值點時，拉格朗日插值需要重新計算全部的基函式，而牛頓插值只需計算均差表中新的一行的值即可。
