反插值

反插值

設函式f的離散數據為(xi,yi),yi=f(xi),i=0,1,2,...,n,插值的目的是在x0,x1,x2,...,xn之間給定了自變數x的值後,要去求函式f的近似值,其途徑是構造插值多項式,不同的構造方法,就是不同的插值法。與此相反,反插值的目的是在y0,y1,...,yn之間給定了函式f的值後,要去求自變數x的近似值,其途徑仍是利用插值法。 反插值有兩種處理方式:一種是直接利用函式f的插值多項式;另一種是在假設f存在的前提下,構造f的反函式f的插值多項式。因為反插值歸結為求滿足f(x)=c的x的近似值,這裡c是在y0,y1,...,yn之間的某個值。如果f的反函式f存在,則x=f(c)。反插值就是求f在c上的近似值。當c=0時,反插值就是求函式f的近似零點,或者說是求方程f(x)=0的近似根,所以反插值有明顯的意義 。

基本介紹

反插值 反插值
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反插值(inverse interpolation)是一種插值法,指利用插值函式反求滿足某條件之自變數的近似值。設給定函式在個不同點上的值,欲求使之的近似值,這裡是含的區間[α,β]中之某個值。反插值就是求的反函式在c處的近似值 。

方法步驟

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求的反函式在c處的近似值通常可由的 牛頓插值公式,近似代替,再令,求出的近似,一般用逐次逼近法,先取使得滿足,即

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再求,使它滿足,這裡及為的一階與二階均差。由上式得到

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然後用疊代公式

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疊代至與在所要求精度下相等為止。也可直接利用反函式以為節點的牛頓插值多項式,用近似。

反插值及餘項

反插值 反插值

假設函式以表格形式給出如下:

表1
反插值 反插值
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反插值就是要以函式的值來求自變數的的值。

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設函式在含的區間上嚴格單調,則由高等數學知識可知,與是一一對應的,即存在反函式,此時反插值問題有唯一解存在 。

反插值 反插值
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一般情況下,可用 拉格朗日插值多項式牛頓插值多項式,只須將與的位置互換即可。如用拉格朗日插值多項式對上表作反插值有

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反插值的餘項為

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