名稱
回歸數
簡介
英國大數學家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾經發現過一種有趣的現象:
153=1^3+5^3+3^3
371=3^3+7^3+1^3
370=3^3+7^3+0^3
407=4^3+0^3+7^3
他們都是三位數且等於各位數字的三次冪之和,這種巧合不能不令人感到驚訝.更為稱奇的是,一位讀者看過哈代的有趣發現後,竟然構造出其值等於各位數字四(五,六)次冪之和的四(五,六)位數:
1634=1^4+6^4+3^4+4^4
54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5
548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6
注:3位3次冪回歸數又稱位“水仙花數”
像這種其值等於各位數字的 n 次冪之和的 n 位數,稱為 n 位 n 次冪回歸數.本文只討論這種回歸數,故簡稱為回歸數,人們自然要問:對於什麼樣的自然數 n 有回歸數?這樣的 n 是有限個還是無窮多個?對於已經給定的 n ,如果有回歸數,那么有多少個回歸數? 1986年美國的一位數學教師安東尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地證明了使 n 位數成為回歸數的 n 只有有限個.
設 An 是這樣的回歸數,即:
An=a1a2a3...an=a1^n+a2^n+...+an^n (其中 0<=a1,a2,...an<=9)
從而 10^n-1<=An<=n9^n 即 n 必須滿足 n9^n>10^n-1 也就是 (10/9)^n<10n (1)
隨著自然數 n 的不斷增大,(10/9)^n 值的增加越來越快,很快就會使得(1) 式不成立,因此,滿足(1)的 n 不能無限增大,即 n 只能取有限多個.進一步的計算表明:
(10/9)^60=556.4798...<10*60=600(10/9)^61=618.3109...>10*61=610
對於 n>=61,便有 (10/9)^n>10n
由此可知,使(1)式成立的自然數 n<=60.故這種回歸數最多是60位數.迪拉那說,他的學生們早在1975年藉助於哥倫比亞大學的計算機得到下列回歸數:
一位回歸數:1,2,3,4,5,6,7,8,9
二位回歸數:不存在
三位回歸數:153,370,371,407
四位回歸數:1634,8208,9474
五位回歸數:54748,92727,93084
六位回歸數:548834
七位回歸數:1741725,4210818,9800817
八位回歸數:24678050,24678051
但是此後對於哪一個自然數 n (<=60)還有回歸數?對於已經給定的 n ,能有多少個回歸數?最大的回歸數是多少?
3 153 370 371 407
4 1634 8208 9474
5 54748 92727 93084
6 548834
7 1741725 4210818 9800817 9926315
8 24678050 24678051 88593477
9 146511208 472335975 534494836 912985153
10 4679307774
11 82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225 32164049650 49388550606
12 無解
13 無解 0564240140138(只有廣義解一組)
14 28116440335967
15 無解
16 4338281769391371 4338281769391370 17 35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317(廣義解)
18 無解
19 4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 1517841543307505039
20 14543398311484532713 63105425988599693916
21 128468643043731391252 449177399146038697307
22 無解23 21887696841122916288858 28361281321319229463398、27879694893054074471405 35452590104031691935943 27907865009977052567814
24 188451485447897896036875 239313664430041569350093、174088005938065293023722、
25 15532421628937718506693783706907995955475988644381 4422095118095899619457938 3706907995955475988644380 1550475334214501539088894
38 12815792078366059955099770545296129367
39 115132219018763992565095597973971522401 115132219018763992565095597973971522400
