法向量

法向量是空間解析幾何的一個概念，垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。一般不選擇零向量為平面的法向量。由於空間內有無數個直線垂直於已知平面，因此一個平面都存在無數個法向量（包括兩個單位法向量）。垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。每一個平面存在無數個法向量。

基本信息

• 中文名：法向量

• 定義：如果一個非零向量n與平面a垂直，則稱向量n為平面a的法向量。
• 釋義：是空間解析幾何的一個概念

定義

如果一個非零向量n與平面a垂直，則稱向量n為平面a的法向量概念
垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。一個平面都存在無數個法向量。

計算方法

從理論上說，空間零向量是任何平面的法向量，但是由於零向量不能表示平面的信息。一般不選擇零向量為平面的法向量。
如果已知直線與平面垂直，可以取已知直線的兩點構成的向量作為法向量；如果不存在

法向量

這樣的直線，可用設元法求一個平面的法向量；步驟如下：首先設平面的法向量m(x,y,z)，然後尋找平面內任意兩個不平行的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由於平面法向量垂直於平面內所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由於上面解法存在三個未知數兩個方程(不能通過增加新的向量和方程求解，因為其它方程和上述兩個方程是等價的)，無法得到唯一的法向量(因為法向量不是唯一的)。為了得到確定法向量，可採用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等於1的方法(單位法向量)，但是這步並不是必須的。因為確定法向量和不確定法向量的作用是一樣的。
平面法向量的具體步驟：（待定係數法）
1、建立恰當的直角坐標系
2、設平面法向量n=（x，y，z）
3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2,a3）b=（b1，b2，b3）
4、根據法向量的定義建立方程組①n*a=0②n*b=0
5、解方程組，取其中一組解即可。
關於法向量微分幾何的計算方式，這涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式為：
1).隱函式：F(x,y,z)=0，如平面x+y+z=0;
2).（參數化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.因為曲面的維度為2，所以一般是兩個參數u,v。比如：x+y+z=0可表示為：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.
對應的，計算法向量的方式分別為：
1).grad(F).即隱函式F(x,y,z)的梯度grad(F)即為曲面在點(x,y,z)處的法向量，也即，法向量為F(x,y,z)=C變化率最大的方向。
2).偏導的叉乘給出法向量

套用範圍

法向量的主要套用如下：
1、求斜線與平面所成的角（一般只求出正弦值即可）：求出平面法向量和斜線的一邊，然後聯立方程組，

法向量

可以得到角度的餘弦值，根據公式Sinα=|Cosα|。利用這個原理也可以證明線面平行；
2、求二面角：求出兩個平面的法向量所成的角，這個角與二面角相等或互補；
3、點到面的距離： 任一斜線(平面為一點與平面內的連線)在法向量方向的射影；如點B到平面α的距離d=|BD·n|/|n|(等式右邊全為向量，D為平面內任意一點，向量n為平面α的法向量)。利用這個原理也可以求異面直線的距離
法向量方法是聯考數學可以採用的方法之一，它的優點在於思路簡單，容易操作。只要能夠建立出直角坐標系，都可以寫出最後答案。缺點在於同一般立體幾何方法相比，其計算量巨大，特別是在計算二面角的時候。