歐幾里得空間

歐幾里得空間，簡稱歐氏空間，是帶有“內積”的實數域上的一類向量空間。

正文

　“內積”是一個度量概念，有明顯的代數性質,向量的長度和夾角都可以通過向量的內積來表示。所謂內積，是指與實數域R上向量空間E中任意一對向量u、v 惟一對應的實數,這個實數記作(u，v),並滿足以下條件：
①(u,v)=(v,u)，②③(αu,v)=α(u，v),④(u,u)≥0,若且唯若u=0時(u,u)=0，式中u,u1,u2，v是E 的任意向量，α是任意實數。
一個定義了內積的實數域上的向量空間，稱為歐幾里得空間。例如，設V是解析幾何里的三維空間,u、v是V 的任意向量，在V 中定義(u,v)=｜u｜·｜v｜cosθ，其中|u|、|v|分別表示u、v的長度，θ表示u和v的夾角。(u,v)滿足內積的全部條件, 所以V是一個歐氏空間。設R是實數域，R 上的n 維向量空間,定義，式中，則Rn成為一個歐氏空間。設E是定義在閉區間 【-1,1】上一切連續實函式所構成的向量空間，定義

，

式中ƒ(t)、g(t)是E中的函式。則E作成一個歐氏空間。
向量的長和夾角　歐氏空間E 的一個向量尣的長,定義為非負實數，並記作|尣|，即

。

歐氏空間E 的任意兩個非零向量尣 和у 的夾角θ由公式cosθ=(尣,у)/(|尣||у|)來確定。這是解析幾何里關於兩個向量夾角的自然推廣。著名的柯西－施瓦茲不等式或布雅科夫斯基不等式(尣,у)≤(尣,尣)(у,у),若且唯若尣與у成比例時等號才成立,保證了上述的夾角定義的合理性。歐氏空間E 的兩個向量尣與у的距離定義為|尣-у|。對於E 的任意三個向量尣、у、z,有通常關於距離的三角形不等式成立：｜尣-z｜≤｜尣-у｜+｜у-z｜。
標準正交基　如果歐氏空間的兩個向量尣與у的內積為零，即(尣,у)=0，那么尣與у 稱為正交的。在一個歐氏空間裡，與解析幾何的直角坐標系相類似的概念是所謂標準正交基。n維歐氏空間E的基e1,e2,…,en,如果滿足條件

那么e1,e2,…,en稱為E 的一個標準正交基，即E的一組長度為1且兩兩正交的基稱為標準正交基。任何一個n維歐氏空間都有標準正交基。如果e1,e2,…,en是n維歐氏空間E 的一個標準正交基,,是E的任意向量，那么,即在一個標準正交基下，兩個向量的內積等於其對應坐標的乘積之和。
歐氏空間的同構　如果兩個歐氏空間E 和E┡，作為實數域上的向量空間是同構的，而且當尣凮尣┡,у凮у┡時有(尣,у)=(尣┡,у┡),即E 和E┡ 的相對應的向量的內積是相等的,那么E與E┡稱為同構。任意一個n維歐氏空間都與Rn同構。
酉空間 歐氏空間在複數域上的自然推廣。如果V 是複數域上的一個向量空間,對於V的任意一對向量u、v，有一個確定的複數(u，v)與之對應,且滿足以下條件:(u，v) ,若且唯若u=0時等號成立,那么V 稱為酉空間。這裡u1,u2是V 的向量，α是任意複數,表示(v,u)的共軛複數。由於有，所以(u,u)是實數，因而(u,u)≥0有意義。
在一個酉空間裡，也可以把向量u的長｜u｜定義為，但是不能象在歐氏空間裡那樣來定義兩個向量的夾角，因為一般說來,(u,v)不一定是實數。儘管酉空間裡有向量的長度概念而無夾角概念，然而仍可引入兩個向量正交的概念。如果酉空間的兩個向量u、v的內積為零，即(u,v)=0，那么u與v稱為正交的。在一個n維酉空間裡,也可以定義標準正交基；而且任一n維酉空間必定存在標準正交基。

歐幾里得空間使向量同數量建立對應，因此使向量空間與直角坐標系建立的聯繫。

配圖

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