分組碼
正文
一類重要的糾錯碼,它把信源待發的信息序列按固定的κ位一組劃分成訊息組,再將每一訊息組獨立變換成長為n(n>κ)的二進制數字組,稱為碼字。如果訊息組的數目為M(顯然M≤2κ),由此所獲得的M個碼字的全體便稱為碼長為n、信息數目為M的分組碼,記為【n,M】。把訊息組變換成碼字的過程稱為編碼,其逆過程稱為解碼。線性分組碼與非線性分組碼 分組碼就其構成方式可分為線性分組碼與非線性分組碼。
線性分組碼是指【n,M】分組碼中的M個碼字之間具有一定的線性約束關係,即這些碼字總體構成了n維線性空間的一個κ維子空間。稱此κ維子空間為(n,κ)線性分組碼,n為碼長,κ為信息位。此處M=2κ。
非線性分組碼【n,M】是指M個碼字之間不存線上性約束關係的分組碼。d為M個碼字之間的最小距離。非線性分組碼常記為【n,M,d】。非線性分組碼的優點是:對於給定的最小距離d,可以獲得最大可能的碼字數目。非線性分組碼的編碼和解碼因碼類不同而異。雖然預料非線性分組碼會比線性分組碼具有更好的特性,但在理論上和實用上尚缺乏深入研究(見非線性碼)。
線性分組碼的編碼和解碼 用Vn表示 GF(2)域的n維線性空間,Vκ是Vn的κ維子空間,表示一個(n,κ)線性分組碼。Ei=(vi1,vi2…,vin)是代表Vκ的一組基底(i=1,2,…,κ)。以這組基底構成的矩陣
mG=m1E1+m2E2+…+mκEκ
這就是線性分組碼的編碼規則。若






rHT=(v+e)HT=eHT
線性碼的解碼原則便以此為基礎。漢明碼 這是最早提出的一類線性分組碼,已廣泛套用於計算機和通信設備。它是由R.W.漢明於1950年提出的。若碼的均等校驗矩陣H由2r-1個、按任一次序排列且彼此相異的二進制 r維列矢量構成。這樣得到的線性分組碼稱為漢明碼,其分組長為n=2r-1,信息位為κ=n-r =2r-1-r,即為(2r-1,2r-1-r)碼。例如,以矩陣


循環碼 具有某種循環特性的線性分組碼,如果(n,κ)線性分組碼Vκ具有如下的性質:對於每一個










BCH碼 它是一類重要的循環碼,能糾正多個錯誤。假設m是滿足2m呏1(mod n)的最小正整數,β是域GF(2m)的n次單位原根,作循環碼的生成多項式g(x),以d0-1個接續的元素













里德-索洛蒙碼 這是一種特殊的非二進制BCH碼。對於任意選取的正整數s,可構造一個相應的碼長為n=qs-1的q進制BCH碼,其中碼元符號取自有限域GF(q),其中q為某一素數的冪。當s=1,q>2時所建立的碼長為n=q-1的q進制BCH碼便稱為里德-索洛蒙碼,簡稱為RS碼。當q=2m(m>1),碼元符號取自域GF(2m)的二進制RS碼可用來糾正成區間出現的突發錯誤。這種碼在短波信道中特別有用。
戈帕碼 這是一種重要的線性分組碼,它不僅包括常見的諸如本原BCH碼等大量的循環碼類,還包括相當多的非循環線性分組碼類,並且後一種碼具有良好的漸近特性。戈帕碼的理論實質在於將每一個碼矢量與一個有理分式相對應。q是某一個素數冪,g(z)是域GF(qm)上的任意多項式,L表示域GF(qm)中所有不為g(z)之根的元素所成之集合,|L|代表L中元素的數目。於是存在一個以GF(q)為符號域,以GF(qm)為位置域的線性分組碼。碼長為|L|,它的各碼元用L中的元素來標誌。這種碼可定義為滿足條件


例如,q=2,m=2,g(z)=z+α,α 是域GF(z2)上的本原元素
α2+α+1=0 α3=1
則L={β1,β2,β3}={0,1,α2}
於是
自50年代分組碼的理論獲得發展以來,分組碼在數字通信系統和數據存儲系統中已被廣泛套用。由於大規模和超大規模積體電路的迅速發展,人們開始從易於實現的循環碼理論研究中解脫出來,更重視研究性能良好的非循環線性分組碼和非線性分組碼。人們在分組碼研究中又引進了頻譜方法,這一研究方向受到了較多的注意。