簡介
在數學中，以亨利·龐加萊（Henri Poincaré）命名的龐加萊對偶性定理是流形結構的基本結果。 它指出，如果M是一個n維定向的閉合流形（緊湊而沒有邊界），則M的第k個流形與M的（n-k）流形是同構的，對於所有整數k，
龐加萊對偶性定理龐加萊對偶性適用於任何係數環，只要有一個取決於該係數環的方向；特別地，由於每個流形具有獨特的取向模數2，所以龐加萊對偶性保持模數2而沒有任何取向的假設。
歷史
1893年，亨利·龐加萊首次提出了一種“龐加萊”的形式。這是說貝蒂數：閉合（即緊湊且無邊界）可定向的n流形的第k和（n-k）貝蒂數相等。在那個時候，上同調的概念被澄清了大約40年。在他1895年的論文分析中，龐加萊試圖用他發明的拓撲交叉理論來證明這個定理。對他的作品的批評使他意識到他的證明是有嚴重缺陷的。在分析情況的前兩種補充中，龐加萊給出了雙三角的新證明。
龐加萊對偶性在20世紀30年代出現同時性之前沒有採用其現代形式。
現代表述
龐加萊對偶性定理
龐加萊對偶性定理 龐加萊對偶性定理龐加萊對偶定理的現代表述是關於流形和上同調的：如果M是閉合取向的n流形，並且k是整數，那么第k個流形就有一個規範的同構 到（n-k）流形 ，在這裡，同整和同調是採用整數環中的係數，但同構性適用於任何係數環。具體地說，一個將 元素映射到它的卡積，它是面向M的。
對於非緊湊型的流形，必須用緊密的支持來取代上同學。
流形被定義為負的零，所以龐加萊的對偶性尤其意味著，在大於n的角度上，可定向閉合n-流形的流形和上同調群是零。
雙線性配對
假設M是緊密無邊界和可定向的，讓
龐加萊對偶性定理
龐加萊對偶性定理表示 的撓子群。並且讓
龐加萊對偶性定理是自由部分與整數係數有關的流形。然後是雙線性映射，即對偶性配對。
龐加萊對偶性定理
龐加萊對偶性定理和
第一種形式通常稱為交叉形式，第二種是扭轉聯接形式。 假設流形M是平滑的，則通過擾動流形類別來橫向計算交叉乘積並計算它們的定向交叉數。 對於扭轉連結形式，通過實現nx作為某個類z的邊界來計算x和y的配對。 形式是分子的分數，z的橫向交叉數與y和分母n。
配對是對偶配對的聲明意味著伴隨地圖
龐加萊對偶性定理和
龐加萊對偶性定理是群的同構。
這個結果是龐加萊對偶性的套用。
龐加萊對偶性定理以及給出識別的通用係數定理
龐加萊對偶性定理
龐加萊對偶性定理
龐加萊對偶性定理 龐加萊對偶性定理
龐加萊對偶性定理因此，龐加萊對偶性表示和是同構的，雖然沒有給出同構的自然圖， 並且同樣地，和也是同構的。
概括和相關結果
龐加萊對偶性定理是對邊界多邊形的泛化。在不定向的情況下，考慮到地方的方向，可以給出獨立於定向性的聲明：參見扭曲的龐加萊對偶性。
布蘭奇菲爾德對偶性是龐加萊對偶性的一個版本，它提供了一個同源性的一個阿巴爾的覆蓋空間的流形和相應的同態學與緊湊的支持。它用於獲得關於亞歷山大模組的基本結構結果，並可用於定義結點。
隨著流形理論的發展，從1955年開始，包括K-理論和其他非凡的理論，一旦構建了多元化的產品，就認識到H*的流形可以被其他理論所取代。更具體地說，廣義流形理論有一般的龐加萊對偶性定理，它需要一種關於流形理論的方向概念，並且是根據廣義Thom同構定理來制定的。Thom同構定理在這方面可以被認為是廣義流形理論的龐加萊對偶性的生髮觀念。
更為顯著的對偶性是對（可能是單數）幾何對象的適當泛化，如分析空間或方案，而交叉流形則被開發R.McPherson和M.Goresky用於分層空間，如實數或複數代數品種，龐加萊對這種分層空間的對偶性。
代數拓撲中有許多其他形式的幾何對偶性，包括Lefschetz對偶性，亞歷山大對偶性，Hodge對偶性和S對偶性。
更代數地，可以抽象出一個龐加萊複合體的概念，它是一個代數對象，其行為類似於一個流形的奇異鏈複合體，特別是在其流形上滿足龐加萊對偶性，相對於基礎類。龐加萊空間是一個奇異的鏈組合是龐加萊複合體。這些並不是所有的流形，而是它們不成為流形，可以通過阻礙理論來衡量。
