映射提升定理

映射提升定理(map lifting theorem)是關於覆疊空間的一條定理。 覆疊空間(covering space)亦稱覆蓋空間,同倫論中一個重要概念。覆蓋空間在同倫理論、諧波分析、黎曼幾何和差分拓撲中起著重要作用。例如,在黎曼幾何中,分支是覆蓋地圖概念的概括。覆蓋空間也與同倫群體研究,特別是基礎群體的研究深深交織在一起。

概念

映射提升定理(map lifting theorem)是關於覆疊空間的一條定理。設(X',p)是X的覆疊空間,對於連續映射f:Y→X,若存在連續映射f':Y→X',滿足條件p°f'=f,則稱f'為f的提升。映射提升定理:若Y是連通且局部道路連通空間,r∈Y,(X',p)是X的覆疊空間,a∈X,b∈p(a),則連續映射:

映射提升定理 映射提升定理

存在提升:

映射提升定理 映射提升定理

的充分必要條件為:

映射提升定理 映射提升定理

並且當提升f'存在時它是惟一的。這裡f和p分別為連續映射f和覆疊映射p對應的基本群之間的誘導同態。

覆疊空間

覆疊空間(covering space)亦稱覆蓋空間,同倫論中一個重要概念。

覆蓋空間在同倫理論,諧波分析,黎曼幾何和差分拓撲中起著重要作用。例如,在黎曼幾何中,分支是覆蓋地圖概念的概括。覆蓋空間也與同倫群體研究,特別是基礎群體的研究深深交織在一起。一個重要的套用來自結果,如果X是一個“足夠好”的拓撲空間,則X的連線覆蓋的所有同構類的集合與X的基本組的子群的共軛類之間存在著雙重的差異。

覆疊空間理論包括映射提升定理,覆疊空間的分類定理,以及萬有覆疊空間的存在性等內容。

連續映射

連續映射(continuous mapping)拓撲空間之間的一類重要映射。

設X,Y為任意兩個集合,映射f:X→Y,對於x∈X,有y=f(x),如果對於y0的任意鄰域U(y),總能找到x的鄰域U(x),使得:

映射提升定理 映射提升定理

則稱映射f在點x0是連續的。如果映射f在集合X的每一點都是連續的,則稱映射f為X上的連續映射。

高等數學中連續函式的定義與這裡的連續映射概念是一致的。

設(X,T)與(Y,Τ)是兩個拓撲空間,f:X→Y是映射,x∈X。若f(x)的每一鄰域關於f的原像是x的鄰域,則稱f在點x處是連續的。若f在X的任意點是連續的,則稱f是(X,T)到(Y,U)的連續映射。f為連續映射的等價條件有很多,例如:

1.Y的每一開集的原像是X的開集;

2.Y的每一閉集的原像是X的閉集;

3.對於任意x∈X和f(x)的任意鄰域U,存在x的鄰域V使得f(V)⊂U;

4.對於X的每一子集A,有:

映射提升定理 映射提升定理

5.對於Y的每一子集B,有:

映射提升定理 映射提升定理

道路連通空間

一類拓撲空間。若對於拓撲空間X中的任意兩點都存在以這兩點分別為始點與終點的道路,則稱X為道路連通空間.若拓撲空間的子集作為子空間是道路連通的,則稱它為道路連通子集。道路連通空間一定是連通空間,但是,其逆不成立。例如,X為{(x,y)|y=sin(1/x),x≠0}與{(0,y)|y∈[-1,1]}的並集且賦予通常拓撲,則X是連通空間但不是道路連通空間。

同倫論

代數拓撲學中研究與連續映射的連續形變有關的各種課題,是代數拓撲學的一個主要組成部分。同倫概念的直觀解釋就是連續變形,以此為基礎定義的基本群被稱為同倫群。最早論及同倫群的是法國數學家龐加萊,他於1895年引進的復形基本群被稱為第一同倫群。1912年荷蘭數學家布勞威爾引入同維流形之間映射的度以研究同倫分類,開創不動點理論。20世紀20年代德國數學家霍普夫探討了球面同倫理論。20世紀30年代波蘭數學家胡雷維奇建立了群的同倫理論,引進拓撲空間的n維同倫群。另一位波蘭數學家博蘇克於1936年定義了從拓撲空間到n維球面的映射類的和,由此得到博蘇克上同倫群。20世紀40年代原蘇聯數學家龐特里亞金給出從(n+k)維球到n維球的映射同倫分類,被稱為龐特里亞金類。20世紀50年代初,法國數學家塞爾提出了研究同倫群的新方法,利用纖維化的譜序列,取得了球面同倫群計算的突破性進展。20世紀50年代末英國數學家J.F.亞當斯提出新的譜序列,成為研究同倫論的重要工具。20世紀60年代初廣義同調論的發展使同調的問題可以轉化為同倫的問題,從此代數拓撲學的這兩個主要分支統一起來,共同獲得重大發展。

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