厄米特矩陣

厄米特矩陣

厄米特矩陣(Hermitian Matrix,又譯作“埃爾米特矩陣”或“厄米矩陣”),指的是自共軛矩陣。矩陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的共軛相等。

定義

n階複方陣A的對稱單元互為共軛,即A的共軛轉置矩陣等於它本身,則A是厄米特矩陣(Hermitian Matrix)。

厄米特矩陣 厄米特矩陣

例如:矩陣 , A就是一個自共軛矩陣。

性質

顯然,埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數的,其特徵值也是實數。對於只包含實數元素的矩陣(實矩陣),如果它是對稱陣,即所有元素關於主對角線對稱,那么它也是埃爾米特矩陣。也就是說,實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。

若A和B是埃爾米特矩陣,那么它們的和A+B也是埃爾米特矩陣;而只有在A和B滿足交換性(即AB=BA)時,它們的積才是埃爾米特矩陣。

可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣A仍然是埃爾米特矩陣。

厄米特矩陣 厄米特矩陣

如果A是埃爾米特矩陣,對於正整數n,是埃爾米特矩陣。

方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。

任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。

埃爾米特矩陣是正規矩陣,因此埃爾米特矩陣可被酉對角化,而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味著埃爾米特矩陣的特徵值都是實的,而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交,因此可以在這些特徵向量中找出一組C的正交基。

厄米特矩陣 厄米特矩陣

n階埃爾米特矩陣的元素構成維數為的實向量空間,因為主對角線上的元素有一個自由度,而主對角線之外的元素有兩個自由度。

如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數,那么這個矩陣是正定矩陣,若它們是非負的,則這個矩陣是半正定矩陣。

推論

(1)n階厄米特矩陣A為正定(半正定)矩陣的充要條件是A的所有特徵值大於(大於等於)0。

(2)若A是n階厄米特矩陣,其特徵值對角陣為V,則存在一個酉矩陣U,使AU=UV。

(3)若A是n階厄米特矩陣,其弗羅伯尼範數的平方等於其所有特徵值的平方和。

(4)主對角線元素皆為實數的埃爾米特矩陣的特徵值均為實數, 斜埃爾米特矩陣的特徵值為零或純虛數。

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