曲線
微分幾何學研究的主要對象之一。直觀上，曲線可看成空間質點運動的軌跡。曲線的更嚴格的定義是區間【α，b)】到E3中的映射r:【α,b)】→E3。有時也把這映射的像稱為曲線。具體地說,設Oxyz是歐氏空間E3中的笛卡兒直角坐標系，r為曲線C上點的向徑，於是有
。
上式稱為曲線C的參數方程,t稱為曲線C的參數,並且按照參數增加的方向自然地確定了曲線C的正向（圖1）。曲線論中常討論正則曲線,即其三個坐標函式x(t)，y(t)，z(t)的導數均連續且對任意t不同時為零的曲線。對於正則曲線,總可取其弧長s作為參數，它稱為自然參數或弧長參數。弧長參數s用
來定義，它表示曲線C從r(α)到r(t)之間的長度,以下還假定曲線C的坐標函式都具有三階連續導數,即曲線是C3階的。
性質
設正則曲線C的參數方程為r＝r(s)，s是弧長參數，p(s)是曲線C上參數為s即向徑為r(s)的一個定點。Q(s+Δs)為C上鄰近p的點，Q沿曲線C趨近於p時，割線pQ的極限位置稱為曲線C在p點的切線。過p點與切線垂直的平面稱為曲線C在p點的法平面。曲線C在p點的切線及C上鄰近點R確定一個平面σ,σ的極限位置稱為曲線C在p點的密切平面,它在p點的法線稱為曲線C在p點的次法線，曲線C在p點的切線和次法線決定的平面稱為曲線C在p點的從切平面。p點的法線稱為曲線C在p點的主法線（圖2）。
