全增量
為了引進全微分的定義,先來介紹全增量。
設二元函式z = f (x, y)在點P(x,y)的某鄰域內有定義,當變數x、y點(x,y)處分別有增量Δx,Δy時函式取得的增量。
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稱為 f (x, y)在點(x,y)的全增量。
全微分
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如果函式z = f (x, y)在點(x,y)的全增量 可表示為
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其中A 、B僅與x、y 有關,而不依賴於Δx 、Δy, ,則稱函式z = f (x, y)在點(x,y)處可微分, 稱為函式z = f (x, y)在點(x,y)處的全微分。記作dz,即。
函式若在某平面區域D內處處可微時,則稱這個函式是D內的可微函式,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函式。
定理
定理1
如果函式z=f(x,y)在點p(x0,y0)處可微,則z=f(x,y)在p(x0,y0)處連續,且各個偏導數存在,並且有f′x(x0,y0)=A,f′y(x0,y0)=B。
定理2
若函式z=f(x,y)在點p0(x0,y0)處的偏導數f′x,f′y連續,則函式f在點p處可微。
定理3
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若函式z = f (x, y)在點(x, y)可微分,則該函式在點(x,y)的偏導數必存在,且函式z = f (x, y)在點(x,y)的全微分為:
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判別可微方法
(1)若f (x,y)在點(x0, y0)不連續,或偏導不存在,則必不可微;
(2)若f (x,y)在點(x0, y0)的鄰域內偏導存在且連續必可微;
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(3)檢查是否為的高階無窮小,若是則可微,否則不可微。
極限、連續、可導、可微的關係
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這幾個概念之間的關係可以用下圖表示: