全微分

全微分

如果函式z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示為 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ), 其中A、B不依賴於Δx, Δy,僅與x,y有關,ρ趨近於0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2]),此時稱函式z=f(x, y)在點(x,y)處可微分,AΔx+BΔy稱為函式z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分,記為dz即 dz=AΔx +BΔy 該表達式稱為函式z=f(x, y) 在(x, y)處(關於Δx, Δy)的全微分。

全增量

為了引進全微分的定義,先來介紹全增量。

設二元函式z = f (x, y)在點P(x,y)的某鄰域內有定義,當變數x、y點(x,y)處分別有增量Δx,Δy時函式取得的增量。

全微分 全微分

稱為 f (x, y)在點(x,y)的全增量。

全微分

全微分 全微分

如果函式z = f (x, y)在點(x,y)的全增量 可表示為

全微分 全微分
全微分 全微分
全微分 全微分
全微分 全微分

其中A 、B僅與x、y 有關,而不依賴於Δx 、Δy, ,則稱函式z = f (x, y)在點(x,y)處可微分, 稱為函式z = f (x, y)在點(x,y)處的全微分。記作dz,即。

函式若在某平面區域D內處處可微時,則稱這個函式是D內的可微函式,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函式。

定理

定理1

如果函式z=f(x,y)在點p(x0,y0)處可微,則z=f(x,y)在p(x0,y0)處連續,且各個偏導數存在,並且有f′x(x0,y0)=A,f′y(x0,y0)=B。

定理2

若函式z=f(x,y)在點p0(x0,y0)處的偏導數f′x,f′y連續,則函式f在點p處可微。

定理3

全微分 全微分

若函式z = f (x, y)在點(x, y)可微分,則該函式在點(x,y)的偏導數必存在,且函式z = f (x, y)在點(x,y)的全微分為:

全微分 全微分

判別可微方法

(1)若f (x,y)在點(x0, y0)不連續,或偏導不存在,則必不可微;

(2)若f (x,y)在點(x0, y0)的鄰域內偏導存在且連續必可微;

全微分 全微分
全微分 全微分

(3)檢查是否為的高階無窮小,若是則可微,否則不可微。

極限、連續、可導、可微的關係

全微分 全微分

這幾個概念之間的關係可以用下圖表示:

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