全微分表達式

如果函式z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示為 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)， 其中A、B不依賴於Δx, Δy，僅與x,y有關，ρ趨近於0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此時稱函式z=f(x, y)在點（x，y）處可微分，AΔx+BΔy稱為函式z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分，記為dz即 dz=AΔx +BΔy 該表達式稱為函式z=f(x, y) 在(x, y)處(關於Δx, Δy)的全微分的表達式。

簡介

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為了引進全微分的定義，先來介紹全增量。

全增量

設二元函式z = f (x, y)在點P(x,y)的某鄰域內有定義，當變數x、y點(x,y)處分別有增量Δx，Δy時函式取得的增量。

稱為 f (x, y)在點(x,y)的全增量。

全微分

如果函式z = f (x, y)在點(x,y)的全增量

可表示為

其中A 、B僅與x、y 有關，而不依賴於Δx 、Δy，

，則稱函式z = f (x, y)在點(x,y)處可微分，

稱為函式z = f (x, y)在點(x,y)處的全微分。記作dz，即

。

函式若在某平面區域D內處處可微時，則稱這個函式是D內的可微函式，全微分的定義可推廣到三元及三元以上函式。[1-2]

定理

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定理1

如果函式z=f（x，y）在點p0（x0，y0）處可微，則z=f（x，y）在p0（x0，y0)處連續，且各個偏導數存在，並且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

定理2

若函式z=f（x，y）在點p0（x0，y0）處的偏導數f′x，f′y連續，則函式f在點p0處可微。

定理3

若函式z = f (x, y)在點(x, y)可微分，則該函式在點(x,y)的偏導數

必存在，且函式z = f (x, y)在點(x,y)的全微分為：

判別可微的方法

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(1)若f (x,y)在點(x0, y0)不連續，或偏導不存在，則必不可微；

(2)若f (x,y)在點(x0, y0)的鄰域內偏導存在且連續必可微；

(3)檢查

是否為

的高階無窮小，若是則可微，否則不可微 。[3]

極限、連續、可導、可微的關係

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這幾個概念之間的關係可以用下圖表示：

公式圖