阿貝爾微分:阿貝爾微分是一類微分式。閉黎曼曲面k上的亞純微分稱為阿貝爾微 -百科知識中文網

分類

設 g 是曲面 S 的虧格；是 S 的典範同調基的閉鏈，根據它們奇點的性狀，將它們分成三類阿貝爾微分：Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ ，並且有真包含關係。

第一類阿貝爾微分

(Abelian differential of the first kind)

第一類阿貝爾微分就是 S 上處處全純的一階微分，且在每個點的一個鄰域 U 內它具有形式，這裡是 U 內的局部單值化變數，是 U 內 z 的全純或正則的解析函式。

阿貝爾微分相加或它與一個全純函式相乘可以用自然的方式：如果，則。第一類阿貝爾微分構成一個 g 維的向量空間。再引入標量積，其中是與星共軛微分的外積 (exterior product)，空間成為希爾伯特空間。

設是第一類阿貝爾微分ω的 A 周期和 B 周期，即積分。那那么有以下關係式：

如果是另一個第一類阿貝爾微分的周期，那么有

關係式（1）和（2）稱為第一類阿貝爾微分的黎曼雙線性關係 (bilinear Rienmann relations)。可以選取第一類阿貝爾微分的一個典範基，即空間的一個典範基，使得，這裡，若。於是 B 周期矩陣是對稱的，而且虛部的矩陣是正定的。A 周期全為零或 B 周期全為零的第一類阿貝爾微分的所有周期全為實數，那么ω=0 。

第二類和第三類阿貝尓微分

(Abelian differentials of the second and third kinds)

第二類和第三類阿貝爾微分通常是亞純微分，即在 S 上至多只有有限多個奇點（為極點）的解析微分，它們有局部表達式：

其中是正則函式，n 是極點的階（若），且是極點的留數。如果，這個極點稱為單的。第二類阿貝爾微分就是所有留數都為零的亞純微分，即具有局部表達式的亞純微分。第三類阿貝爾微分是一個任意的阿貝尓微分。

設是具有 A 周期的一個任意阿貝尓微分；那么阿貝爾微分的 A 周期都是零，稱為 正規阿貝爾微分(mormlized Abelian differential) 。特別地，當和是 S 上任意兩點時，可以構造一個在有奇點，在有奇點的正規化阿貝爾微分是第三類正規阿貝爾微分。設是任意阿貝爾微分，它在點處分別有留數；那么總有。如果是 S 上一個任意點，，那么可以表示成一個第二類正規化阿貝爾微分，有限個第三類正規 阿貝爾微分以及第一類阿貝爾微分的線性組合：。

設ω 是只在有留數的單極點的第三類 阿貝爾微分，ω是任意的一個第一類 阿貝爾微分：，這裡的閉鏈不通過ω 的極點。設不在閉鏈上，是從到的一條道路。那么可得第一類和第三類 阿貝爾微分的雙線性關係(bilinear relation)：

在第一類和第二類 阿貝爾微分也有類似的雙線性關係。

除了被稱為循環周期 (cyclic period) 的 A 周期和 B 周期外，一個任意的第三類阿貝尓微分還具有沿著圍繞的零同調閉鏈的形如的極周期 (polar period)。於是對任意的閉鏈有這裡和都是整數。

性質

阿貝爾微分的重要性質可以用除子描述。

設是阿貝尓微分ω的除子，即是一個形如的表達式，其中是ω的所有零點和極點，是它們的重數或階數。 阿貝爾微分ω的除子的次數僅依賴於 S 的虧格。且總有。設是某個已給的除子，用表示簇子是的倍數的阿貝尓微分ω的復向量空間，用表示其除子是的倍數的 S 上亞純函式 f 的向量空間，則。關於這些空間的維數的另一重要信息包含在黎曼-羅赫定理中：等式