三割線定理

三割線定理

三割線定理是調和點列中的一個熟知結論,卻曾被民間數學家多次"發現".三割線定理可表述為:PAB、PCD為⊙O的兩任意割線,AD與BC交於Q,PQ交⊙O於E、F,則1/PE+1/PF=2/PQ 推廣:自二次曲線L外一點P作直線交L於A,B,C,D,弦AD,BC交於Q,PQ交L於E,F,則1/PE+1/PF=2/PQ

證法1

三角函式證法

在這裡僅考慮二次曲線為圓的情況

連BF、DF、AE、CE

三割線定理 三割線定理

由AE內分∠PAQ→由分角定理→

(EQ/PE)=(sin∠EAQ/sin∠PAE)(sin∠APQ/sin∠AQP)

由CE內分∠PCQ→由分角定理→

(EQ/PE)=(sin∠ECQ/sin∠ECP)(sin∠CPQ/sin∠CQP)

由∠EAQ=∠DFE=∠ECP,∠PAE=∠EFB=∠ECQ→

(EQ·EQ)/(PE·PE)=(sin∠APQ·sin∠CPQ)/(sin∠AQP·sin∠CQP)⑴。

由BF外分∠PBQ→

(FQ/PF)=(sin∠FBQ/sin∠PBF)(sin∠APQ/sin∠BQP○)

由DF外分∠PDQ→

(FQ/PF)=(sin∠FDQ/sin∠PDF)(sin∠CPQ/sin∠DQP○)

由∠FBQ與∠PDF,∠PBF與∠FDQ互補,→

(FQ·FQ)/(PF·PF)=(sin∠APQ·sin∠CPQ)/(sin∠CQP○·sin∠AQP○)⑵,(○表示互補)

⑴⑵→EQ/PE=FQ/PF→(PQ-PE)/PE=(PF-PQ)/PF→(PQ/PE)-1=1-(PQ/PF)→

PQ/PE+PQ/PF=2→1/PE+1/PF=2/PQ。證畢。

證法2

幾何證法

三割線定理 三割線定理

在這裡僅考慮二次曲線為圓的情況

在PE上取一點G,使=PQ*PG=PA*PB=PC*PD

易證AQGB共圓,圓心為O1,BCQG共圓,圓心為O2

∵兩圓圓心的連線段垂直於兩圓交點的連線段

∴O1O2⊥PF,O1O⊥PB,O2O⊥PD

∴∠O2O1O=∠BPF,∠O1O2O=∠DPF

易證∠BGQ=∠PCQ=180°-∠BAQ

∴∠QBG=∠DPF,∠GO1O2=∠QBG=∠DPF,同理可得:∠GO2O1=∠BPF

∴∠O2O1O=∠GO2O1,∠O1O2O=∠GO1O2,△O1O2G≌△O1O2O(AAS)

∴四邊形O1O2OG為等腰梯形,OG∥O1O2

又O1O2⊥PB,故OG⊥PB,垂徑定理得:G為EF中點

∴2PG=PE+PF

又PG*PQ=PA*PB=PE*PF,∴2PG*PQ=2PE*PF

∴(PE+PF)*PQ=2PE*PF,等式兩端同時除以PE*PF*PQ得:1/PE+1/PF=2/PQ。證畢。

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