證明
1.證明：由內心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2
∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ
同理，∠ICJ=90°
∵∠IBJ+∠ICJ=180°
∴IBJC四點共圓，且IJ為圓的直徑
∵AK平分∠BAC
∴KB=KC（相等的圓周角所對的弦相等）
又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB
∴KB=KI
∵IBJC四點共圓 且 KB=KI=KC
∴點K是四邊形IBJC的外接圓的圓心（只有圓心滿足與圓周上超過三個以上的點的距離相等）
∴KB=KI=KJ=KC
2.證明：∵E為內心，∴BE平分∠ABC，∴∠2=0.5∠ABC，
∵F為旁心，∴BF平分∠MBC，∴∠CBF=0.5∠MBC
∴∠1+∠CBF=0.5（∠ABC+∠MBC）=0.5×180o=90o，
∴∠EBF=90o，同理：∠ECF=90度，
∴∠EBF+∠ECF=180o， E、B、F、C四點共圓。
∵AD平分∠BAC，且B，D，C三點在△ABC外接圓上，∴DB=DC。①
∵∠6=∠1+∠3，∵∠3=∠4=∠5，∴∠6=∠1+∠5，∵∠1=∠2
∴∠6=∠2+∠5，∴DE=DB。比較①得：DB=DC=DE；
∵E、B、F、C四點共圓，∴D為E、B、F、C四點外接圓的圓心，
雞爪定理的證明∴DB=DC=DE=DF，定理得證。
逆定理
設△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓於K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內部，J在△ABC的外部。則點I是△ABC的內心，點J是△ABC的旁心。
證明：利用同一法可輕鬆證明該定理的逆定理。
取△ABC的內心I'和旁心J‘，根據定理有KB=KC=KI'=KJ'
又∵KB=KI=KJ
∴I和I'重合，J和J’重合
即I和J分別是內心和旁心
