雙曲線的標準方程

雙曲線的標準方程

雙曲線(Hyperbola)是指與平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡,也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大於1的常數的點之軌跡。雙曲線是圓錐曲線的一種,即圓錐面與平行於中軸的平面的交截線。

基本信息

雙曲線的標準方程 雙曲線的標準方程

設雙曲線的焦距為2c,雙曲線上任意一點到焦點F1,F2的距離的差的絕對值等於常數2a(c>a>0)

以F1,F2所在直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系xOy,則F1,F2的坐標分別為(-c,0),(c,0)

設M(x,y)為雙曲線上任意一點,根據雙曲線定義知

|MF1-MF2|=2a

雙曲線的標準方程 雙曲線的標準方程

即| |=2a

雙曲線的標準方程 雙曲線的標準方程

化簡得

雙曲線的標準方程 雙曲線的標準方程

因為

雙曲線的標準方程 雙曲線的標準方程
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所以令 (b>0)得

雙曲線的標準方程 雙曲線的標準方程
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兩邊除以 得 (a>0,b>0即焦點在x軸上)

雙曲線的標準方程 雙曲線的標準方程
雙曲線的標準方程 雙曲線的標準方程

類似可以得到焦點為F1(0,-c),F2(0,c)的雙曲線的方程 (a>0,b>0即焦點在y軸上)

以上兩種方程都叫做 雙曲線的標準方程

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