定義
拋物線定義:平面內與一個定點 F 和一條直線 l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線,點 F 叫做拋物線的焦點,直線 l 叫做拋物線的準線,定點 F不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿,僅比值(離心率 e)不同,當 e=1時為拋物線,當0<e<1時為橢圓,當e>1時為雙曲線。
方程
拋物線的標準方程有四種形式,參數 p的幾何意義,是焦點到準線的距離,掌握不同形式方程的幾何性質(如下表):其中P(x0,y0)為拋物線上任一點。
標準方程 | y^2=2px(p>0) | y^2=-2px(p>0) | x^2 =2p y(p>0) | x^2 =-2p y(p>0) |
圖形 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
範圍 | x≥ 0, y![]() | x≤ 0, y![]() | y≥ 0, x![]() | y≤ 0, x![]() |
對稱軸 | X軸 | y軸 | ||
頂點坐標 | 原點O(0,0) | |||
焦點坐標 | (![]() | (![]() | (0,![]() | (0,![]() |
準線方程 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
離心率 | e = 1 | |||
焦半徑 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![拋物線方程](/img/7/6b6/wZwpmL4cDOxAzN2EDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxQzLzMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
對於拋物線y^2=2px(p≠0)上的點的坐標可設為(,y),以簡化運算。
![拋物線方程](/img/d/450/wZwpmL2gjN1kDM5YDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2QzLzUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![拋物線方程](/img/c/f1d/wZwpmLwEzMyETO0kTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5EzLygzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![拋物線方程](/img/6/ea6/wZwpmLxYDMxADM5gjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4IzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
拋物線的焦點弦:設過拋物線y^2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交於A(x,y)、B(x,y),直線OA與OB的斜率分別為k,k,直線l的傾斜角為α,則有yy=-p^2,xx=,kk=-4,|OA|=,|OB|=,|AB|=x+x+p
幾何性質
方程的具體表達式為y=ax^2+bx+c
![拋物線方程](/img/9/b3c/wZwpmL4ADNzcDM0gTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4EzL4IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
⑴a 0
⑵a>0,則拋物線開口朝上;a<0,則拋物線開口朝下;
![拋物線方程](/img/8/e08/wZwpmL1gjMyATM0IDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyQzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![拋物線方程](/img/3/fdb/wZwpmLwMTOwgTN4UTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzL3YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
⑶極值點(頂點):(,);
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0,圖象與x軸交於兩點:
![拋物線方程](/img/2/570/wZwpmLyMjN4UDM3YzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzLygzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![拋物線方程](/img/2/318/wZwpmLyQzMzUTNwIjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyIzL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
(,0)和(,0);
Δ=0,圖象與x軸交於一點:
![拋物線方程](/img/8/e08/wZwpmL1gjMyATM0IDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyQzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
(,0);
Δ<0,圖象與x軸無交點;
若拋物線交y軸為正半軸,則c>0。若拋物線交y軸為負半軸,則c<0。