布里西費爾特引理(Blichfeldt's Lemma)
內容
一張被分成邊長為1的格線紙，若其中有一面積大於n(n為自然數)的封閉區域，則總可以平移(橫向縱向滑動而不旋轉)，使區域包含至少n+1個點。
證明
假設在一方格網中，橫線與縱線相互垂直，且橫縱線間距都為1，一面積大於n的封閉區域A在方格中。將封閉區域A完全染色，則染色區域面積也大於n。現在，沿格線將整個方格區域分成若干個1*1的小正方形，並且A區域任意一部分都在這若干個小正方形中。如果對任意一個小方格上下左右平移，那么方格內圖形不變，恢復到原位置時，格線紙的圖形不會改變。將分開的正方形方格塊平移併疊放到一起，以保證除最上和最下兩個方格塊外其他方格上任意一點都有一個點對應。從最下方格的任意一點引一條垂直於方格面向上的射線，依次穿過每一個方格則射線與方格面的交點要么位於染色區域內，要么位於染色區域外，二者必居其一且僅居其一。若任意一條射線與任意一個方格交點在被染色區域內，則證明A區域在該方格內有覆蓋，其面積一定大於0。又因為被分開的區域在面積為1的方格內，所以面積最大為1(此時染色區域將方格全覆蓋)。假設引出的所有射線與方格交點中沒有使“與染色區域交點至少為n+1個”滿足，則焦點最多為n個。由單面積最大為1知，被染色區域面積最大為n。但這與條件面積大於n矛盾，所以假設不成立所以至少存在一條射線使與陰影交點至少為n+1個。
用一根無限細的針沿有(n+1)個交點的射線將方塊穿透記穿透陰影的點分別為P1, P2 ... Pn+1。取任意點Pk設其與上邊緣距離為a，與左邊緣距離為b。由重疊知，各正方形完全重合，則P1, P2 ... Pn+1點與上邊緣距離為a，與左邊緣距離為b。用平移的方式將方格恢復原狀，任取兩個交點Pi, Pj，設橫向間隔N個方格，縱向間隔M個方格。則兩點橫向間距為N*1 + b+(1-b)=N+1，縱向間距為M*1 + a+(1-a)=M+1。所以，任意兩點橫縱向間距都為整數。平移區域，使其中一點與格線點重合，由格線點間距整數知，各點與格線點重合。因這n+1個點在染色區域內，所以區域A包含n+1個點，命題得證。
閔可夫斯基原理的證明
任取一個關於原點對稱且面積大於1的封閉凸圖形，由布里西費爾特引理知，一定存在兩點，使橫縱坐標之差為整數。設其中一點坐標為(x0, y0)，另一點為(x0+k, y0+b)(k, b∈Z)，並且(x0, y0)、(x0+k, y0+b)都在圖形內。因圖形關於原點對稱，所以對於任意點(x, y)，若其在圖形中，則關於原點的對稱點(-x, -y)也在圖形中。所以(-x0-k, -y0-b)在圖形中。連線點(x0, y0)和點(-x0-k, -y0-b)，取中點((x0+(-x0-k))/2, (y0+(-y0-b))/2)，由圖形為凸區域知，中點在圖形內。將圖形以原點為位似中心，擴大兩倍。中點則為(k, b)，新圖形面積大於4，且中點是整點，位於圖形內。
對於任意一個滿足條件的圖形，都可以先縮小，找到中點後擴大，這樣一定有一異於原點的整點在圖形內，命題得證。
閔可夫斯基
德國數學家赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生於俄國的 Alexotas (現在變成立陶宛的 Kaunas)。
他的主要工作是數論、代數和數學物理。在數論上，他對二次型進行了重要的研究。在1881年法國大獎中，Minkowski深入鑽研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的論著。因為Gauss曾在研究把一個整數分解為三個平方數之和時用了二元二次型的性質，Minkowski由前人的工作中認識到把一個整數分解為五個平方數之和的方法與四元二次型有關。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系。這樣一來，原題就很容易從更一般的理論中得出，Minkowski交給法國科學院的論文長達140頁，遠遠超出了原題的範圍。
Minkowski 此後仍繼續研究n元二次型的理論。他透過三個不變數刻畫了有理係數二次型有理係數線性變換下的等價性，完成了實係數正定二次型的約化理論(1905)，現稱“Minkowski約化理論”。當Minkowski用幾何方法研究n元二次型的約化問題時，獲得了十分精彩而清晰的結果。他把用這種方法建立起來的關於數的理論為“數的幾何”， 其中包括著名的閔克夫斯基原理。
